资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,量子力学,第八讲,连续谱本征函数的归一化,测不准关系的严格证明,共同本征函数,1,量子力学1,第8讲目录,一、,连续谱本征函数,二、,连续谱本征函数的归一化与,函数,三、,不确定度（测不准）关系的严格证明,四、,共同本征函数,五、,习题,2,第8讲目录一、连续谱本征函数2,一、连续谱本征函数（1）,1,、动量,分量的本征值与本征函数,设本征值与本征函数为 和 ，本征方程为：,若 ，则 ，为连续变化：,所以称 为连续谱本征函数：,不能用一般的方式进行归一化,3,一、连续谱本征函数（1）1、动量 分量的本征值与本,一、连续谱本征函数（2）,2,、一维自由粒子的能量本征态,一维自由粒子的哈密顿量算符为,：,能量本征方程为,：,解为：,也是连续谱本征函数，不能用一般的方式进行归一化,.,4,一、连续谱本征函数（2）2、一维自由粒子的能量本征态,二、连续谱本征函数的归一化与,函数（1）,1,、,函数的定义与性质,定义,：或者,性质：,5,二、连续谱本征函数的归一化与函数（1）1、函数的定义,二、连续谱本征函数的归一化与,函数（2）,2,、,函数的积分表达式,在 的一个领域内连续，则：,由,Fourier,积分公式，有：,对比,(1),和,(2),式：,6,二、连续谱本征函数的归一化与函数（2）2、函数的积分,二、连续谱本征函数的归一化与,函数（3）,3,、连续谱本征函数的归一化(1),动量本征态为 ，若取：,则 ，做积分,即：,对比,(3),式：,有：,7,二、连续谱本征函数的归一化与函数（3）3、连续谱本征函,二、连续谱本征函数的归一与,函数（4）,3,、连续谱本征函数的归一化(,2),已证明，为坐标算符的本征态，为本征值。做积分,8,二、连续谱本征函数的归一与函数（4）3、连续谱本征函数,二、连续谱本征函数的归一化与,函数（5）,4,、连续谱本征函数的归一化困难,9,二、连续谱本征函数的归一化与函数（5）4、连续谱本征函,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1),问题：,对于 和 ，有 ，和 为厄米算符，则 ，结论为：,【,证明,】,：设任意波函数 以及任意实数,做积分：,10,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)问题：对于,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(2),其中：,11,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(2)其中：11,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(,3),所以可令 带入上式,12,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(3)所以可令,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(,4),令：,简记为：,13,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(4)令：简记为：1,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(,5),问题：,若 ，会出现什么情况？,14,三、不确定度（测不准）关系的严格证明(5)问题：若,四、共同本征函数(1),设,若 ，则可能存在 ，使得：,若 ，则,称 为算符 和 的,共同本征函数,1,、定义,15,四、共同本征函数(1)设若 ，则可能存在,四、共同本征函数(2),2,、共同本征函数的例子,(1),例,1,：动量 的共同本征函数,拥有共同本征态，即平面波：,即：,16,四、共同本征函数(2)2、共同本征函数的例子(1),四、共同本征函数(3),2,、共同本征函数的例子,(2),例2：坐标 的共同本征函数(2),拥有共同本征态：,两边同时乘上 有：,所以 为算符 属于本征值 的本征态：,17,四、共同本征函数(3)2、共同本征函数的例子(2)例,四、共同本征函数(4),2,、共同本征函数的例子,(3),同理可得：,即：为算符 属于本征值 的本征态：,所以,是 的共同本征态。,18,四、共同本征函数(4)2、共同本征函数的例子(3)同理可,四、共同本征函数(5),2,、共同本征函数的例子,(4),例,3,：的共同本征函数,球坐标下：,和 拥有共同本征函数。,已知 的本征值和本征函数为：,19,四、共同本征函数(5)2、共同本征函数的例子(4)例,四、共同本征函数(6),2,、共同本征函数的例子,(5),设 的本征函数为 ，本征值为 ，本征方程写为：,，分离变量：,因为 和 拥有共同本征函数。所以 也是 的本征函数，又因为 只对 起作用，所以有：,将 代入,有：,20,四、共同本征函数(6)2、共同本征函数的例子(5)设,四、共同本征函数(7),2,、共同本征函数的例子,(6),21,四、共同本征函数(7)2、共同本征函数的例子(6)21,四、共同本征函数(8),2,、共同本征函数的例子,(7),22,四、共同本征函数(8)2、共同本征函数的例子(7)22,四、共同本征函数(9),2,、共同本征函数的例子,(8),称为球谐函数，满足关系：,正交归一化条件为：,23,四、共同本征函数(9)2、共同本征函数的例子(8),四、共同本征函数(10),3,、球谐函数的结论,24,四、共同本征函数(10)3、球谐函数的结论24,25,25,26,26,习题,（,1,）,27,习题（1）27,习题,(2),28,习题(2)28,下一讲,力学量完全集与守恒量,中心力场的径向方程,29,下一讲29,
展开阅读全文