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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,:,解三角形,1.1,正弦定理,1.,问题的引入,:,.,(1),在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事,.,明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢,?,科学家们是怎样测出来的呢?,(2),设,A,B,两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗,?,A,B,我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.,回忆一下直角三角形的边角关系,?,A,B,C,c,b,a,两等式间有联系吗?,思考,:,对一般的三角形,这个结论还能成立吗,?,2.定理的推导,1.1,正弦定理,(1),当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢,?,D,如图,:,作,AB,上的高是,CD,根椐三角形的定义,得到,1.1,正弦定理,B,A,C,a,b,c,E,(2),当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立,?,B,A,C,b,c,a,1.1.1,正弦定理,D,(,1,),文字叙述,正弦定理:,在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等,.,(,2,),结构特点,(,3,)方程的观点,正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个,.,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢,?,和谐美、对称美,.,正弦定理,:,O(A),y,x,C,B,C,因为向量 与 在,y,轴上的射影均为 ,,如图所示,以,A,为原点,以射线,AB,的方向为,x,轴正方向建立直角坐标系,,C,点在,y,轴上的射影为,C,,,即,所以,即,所以,若,A,为锐角或直角,也可以得到同样的结论,.,同理,,变式,:,正弦定理,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即,剖析定理、加深理解,1,、,A+B+C=,2,、大角对大边,大边对大角,剖析定理、加深理解,3,、正弦定理可以解决三角形中的问题:,已知,两角和一边,,求其他角和边,已知,两边和其中一边的对角,,求另一边,的对角,进而可求其他的边和角,剖析定理、加深理解,4,、一般地,把三角形的三个角,A,,,B,,,C,和它们的对边,a,,,b,,,c,叫做,三角形的元素,。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫,解三角形,剖析定理、加深理解,5,、正弦定理的变形形式,6,、正弦定理,,可以用来判断三角形的形状,其主要功能是实现三角形边角关系的转化,例,1,在,已知,解三角形,.,通过例题你发现了什么一般性结论吗?,小结,:知道三角形的两个内角和任何一边,利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,1.1,正弦定理,3.定理的应用举例,变式:,若将,a,=2,改为,c,=2,,结果如何?,例,2,已知,a=16,,,b=,,,A=30,.,解三角形。,已知两边和其中一边,的对角,求其他边和角,解:由正弦定理,得,所以,60,或,120,当 时,60,C=90,C=30,当,120,时,B,16,30,0,A,B,C,16,3,16,8,3,4.基础练习题,1.1,正弦定理,B=30,0,无解,B,C,D,E,A,分析:,如图所示,将,BD,CE,分别延长相交于一点,A,,在A,BC,中,已知,BC,的长及角,B,与,C,,可以通过正弦定理求,AB,,,AC,的长,.,例,3.,某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,(,如图所示,),,其一角已破损,.,现测得如下数据:,BC=2.57cm,,,CE=3.57cm,,,BD=4.38cm,.,为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到,0.01cm,),.,解:,将,BD,CE,分别延长相交于一点,A,,在A,BC,中,,BC=2.57cm,B=45,C=120,A=180,-,(B+C)=180,-,(45,+,120,),=15,.,因为,所以,利用计算器算得,AC7.02(cm),同理,AB8.60(cm).,答:原玉佩两边的长分别约为,7.02cm,8.60cm.,例,4.,台风中心位于某市正东方向,300 km,处,正以,40 km/h,的速度向西北方向移动,距离台风中心,250 km,范围内将会受其影响,.,如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到,0.1h,),?,分析:,如图所示,台风,沿着,BD,运动时,由于,|AB|,=300 km250 km,,所以开,始台风影响不了城市,A,,由点,A,到台风移动路径,BD,最小距离,|AE|=|AB|sin45,所以台风在运动过程中肯定要影响城市,A.,这就要在,BD,上求影响,A,的始点,C,1,和终点,C,2,,然后根据台风的速度计算台风从,C,1,到,C,2,持续的时间,.,A,北,D,C,2,E,C,1,B,解:,设台风中心从点,B,向西北方向沿射线,BD,移动,该市位于点,B,正西方向,300 km,处的点,A.,假设经过,th,,台风中心到达点,C,,则在,ABC,中,AB=300 km,,,AC=250 km,BC=40t km,B=45.,正弦定理,主要应用,(,1),已知两角及任意一边,可以求出其他两边和另一角;,(,2),已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解),1.1,正弦定理,小结,:,作业,正弦定理(第二课时),1,、复习回顾正弦定理的内容,问题,1,由例,2,我们发现,已知两边和其中一边的对角,解三角形时会出现两解的情况,.,还会出现其他情况吗?你能从代数或几何角度给出解释吗?,提示:,已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、一解或无解,.,在,ABC,中,已知,a,,,b,和,A,时,解的情况如下:,探究点,2,正弦定理解三角形,1.,为锐角,absinA,无解,a=bsinA,一解,bsinAab,一解,ab,无解,b,a,b,a,为直角时,与为钝角相同,,ab,时,一解;,ab,时,无解,.,问题,2,如图所示,在,RtABC,中,斜边,AB,是,ABC,外接圆的直径(设,Rt,ABC,外接圆的半径为,R,),因此,这个结论对于任意三角形,(,图,,,图,),是否成立?,提示:,成立,证明如下,.,A,C,B,B,a,c,b,O,如图,:,当,ABC,为锐角三角形时,,a,b,c,当,ABC,为直角三角形时,容易得证,.,问题,3,B,A,C,D,a,b,c,h,a,证明,:,因为,而,所以,小结:,2,、,在 中,若 ,则 是,(),A.,等腰三角形,B.,等腰直角三角形,C.,直角三角形,D.,等边三角形,1,、在 中,一定成立的等式是(),C,D,3.,(,2013,北京高考)在,ABC,中,,a,=3,b,=5,sinA=,则,sinB=(),A.,B.,C.,D.1,B,B,6.,在 中,,c=4,a=2,C=,则,=_.,5.,若,A,B,C,是,ABC,的三个内角,,则,sinA+sinB_sinC.,通过本节课的学习,:,1.,掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法,.,2.,学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题,.,(,1,)已知两角及一边;,(,2,)已知两边和其中一边的对角,.,在例,2,中,将已知条件改为以下几种情况,不计算判断有几组解?,60,A,B,C,b,(,3,),b,20,,,A,60,,,a,15.,(,1,),b,20,,,A,60,,,a,;,(,2,),b,20,,,A,60,,,a,;,(,3,),b,20,,,A,60,,,a,15.,60,20,A,C,(,1,),b,20,,,A,60,,,a,;,60,20,3,A,20,B,C,(,2,),b,20,,,A,60,,,a,;,B,C,60,A,20,一解,一解,无解,a,bsinA,a,=bsinA,bsinA,a,b,无解,一解,两解,一解,无解,一解,A,C,条件,图形,解的,个数,总结,A,C,B,B,C,A,A,C,D,B,2,B,1,C,A,D,A,B,C,D,
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