计算机图形学课件第11讲二维变换及二维观察

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,The class is begin!,2024/11/12,1,第6章 二维变换及二维观察,提出问题,如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换,如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察,图形变换的作用,可由简单图形得到复杂图形，方便用户观察,可应用户需求随时对图形进行连续几何变换,2024/11/12,2,6.1.1 齐次坐标,引入目的：,将齐次坐标技术引入到计算机图形学中，图形的变换可以转化为,表示图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘,这一单一问题，便于借助于计算机的高速计算功能得到变换后的图形，从而为高动态的计算机图形显示提供了可能性。,6.1 根本概念,2024/11/12,3,齐次坐标表示,就是用,n+1,维向量表示一个,n,维向量。,如：在二维平面中，点,px,y,的齐次坐标表示为,hx,hy,h，h,为任一不为0的比例系数。,在三维、四维,n,维空间中依此类推。,可见，某点的齐次坐标是不唯一的。,2024/11/12,4,保证齐次坐标惟一性的方法就是定义标准化齐次坐标表示。,标准化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。,标准化齐次坐标表示提供了用矩阵运算把二维、三维甚至更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。,2024/11/12,5,在定义了标准化齐次坐标后，图形变换可以表示为图形点集的标准化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的形式。,如，二维齐次变换矩阵，简称为二维变换矩阵为：,2024/11/12,6,图形的,几何变换,是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。,6.1.2 几何变换,2024/11/12,7,6.1.3 二维变换矩阵,设p(x,y)为xOy平面上二维图形变换前的一点，变换后该点为p(x,y)，通过引入标准化齐次坐标可进行如下变换：,比例、旋转、对称、错切等变换,平移变换,投影变换,整体比例变换,2024/11/12,8,6.2 根本几何变换,根本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换,【声明】,在以下的讲述中，均假定用p(x,y)表示平面xOy上一个未被变换点，该点经某种变换后变为新点用p(x,y)表示。,2024/11/12,9,6.2,.1,平移变换,平移,是指将,p,点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。,p,点经平移变换后有：,x=x+Tx,y=y+Ty,Tx,、,Ty,分别为,x,方向、,y,方向的平移矢量,平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换rigid-body transformation,2024/11/12,10,引入齐次坐标和二维变换矩阵后，平移变换的计算形式可写为,：,6.2,.1,平移变换,x y 1=x y 1*,=x+Tx y+Ty 1,平移变换矩阵,2024/11/12,11,6.2,.2,比例变换,比例变换,是指对,p,点相对于坐标原点沿,x,方向放缩,S,x,倍，沿,y,方向放缩,S,y,倍。,p,点经比例变换后有：,x=x.Sx,y=y.Sy,Sx,和,Sy,称为,比例系数,2024/11/12,12,引入齐次坐标和二维变换矩阵后，比例变换的计算形式如下,：,6.2,.2,比例变换,x y 1=x y 1*,=x.Sx y.Sy 1,比例矩阵,2024/11/12,13,6.2,.2,比例变换,比例变换可改变物体的大小,2024/11/12,14,可推导得，当,Sx=Sy,时，,称为,整体比例变换,，可用以下矩阵进行计算,:,6.2,.2,比例变换,x y 1=x y 1*,=x y S=x/S y/S 1,考虑：,S1,、,0S1,、,S0,：图形沿,+x,方向作错切位移。,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,当,c0,：图形沿,+,y,方向作错切位移。,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,当,b0,：图形沿,-,y,方向作错切位移。,ABCD,A,2,B,2,C,2,D,2,2024/11/12,30,两个方向,错切,当,b,0,且,c,0,时，,(,x,y,1)=(,x,+c,y,b,x,+,y,1),：图形沿,x,y,两个方向作错切位移。,错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。,2024/11/12,31,过 渡,以上的分析均是以点的变换为根底的，但得到的变换矩阵是完全可以推广到直线、多边形等二维图形的几何变换的变换中,即,二维图形的几何变换均可表示成齐次坐标与3阶的二维变换矩阵T的乘法形式。,2024/11/12,32,6.2.6 二维图形几何变换的计算,一般，几何变换均可表示成P=P*T的形式，其中，P为变换前二维图形的标准化齐次坐标，P为变换后二维图形的标准化齐次坐标，T为变换矩阵。,2024/11/12,33,点的变换,将点表示为标准化齐次坐标形式，可为行矩阵或列矩阵，那么P=P*T的形式可写为：,x y 1=x y 1*T,2024/11/12,34,直线的变换,直线的变换可通过对直线两端点进行变换，从而改变直线的位置和方向。,直线两端点的标准化齐次坐标矩阵为：,与变换矩阵相乘，,P=P*T,，,即,x,1,y,1,1,x,2,y,2,1,x,1,y,1,1,x,2,y,2,1,x,1,y,1,1,x,2,y,2,1,.T,=,2024/11/12,35,多边形的变换,多边形的变换是将变换作用于每个顶点的坐标位置，并按新的顶点坐标和当前属性设置来生成新的多边形。,具体操作为：首先将各个顶点坐标写成矩阵形式，然后集中一起与变换矩阵相乘。,例如：有,n,个顶点的多边形，顶点矩阵为：,2024/11/12,36,多边形的变换,与变换矩阵相乘，,P,n,=P,n,*T,，,即,x,1,y,1,1,x,2,y,2,1,x,n,y,n,1,.T,=,x,1,y,1,1,x,2,y,2,1,x,n,y,n,1,x,1,y,1,1,x,2,y,2,1,x,n,y,n,1,2024/11/12,37,曲线的变换,通常，曲线的变换可通过变换曲线上的每一点并依据这些点重新画线来完成。,对于特殊图形，可简化，如圆的平移、参数方程表示的曲线。,2024/11/12,38,