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第,14,练,空间的平行与垂直,第三篇,考前三个月系列图书配套资源,大题规范练,明晰考情,空间中线线、线面、面面的平行与垂直的证明问题是高考的基本考查形式，题目中低档，对答题的规范性要求较高,.,题组对点练,栏目索引,模板规范练,题组对点练,题组一平行与垂直的证明问题,要点重组,(1),平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系,.,(2),证明线线垂直的常用方法,利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；,利用勾股定理的逆定理；,利用线面垂直的性质,.,1.,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PD,平面,ABCD,，,BAD,ADC,90,，,CD,2,AB,2,，,AD,2,，,E,是,BC,上一点，且,BC,3,BE,.,(1),求证：,BC,平面,PDE,；,证明,PD,底面,ABCD,，,PD,BC,.,过,E,作,EG,CD,，垂足为,G,，,DE,2,CE,2,2,EG,2,DG,2,CG,2,8,CD,2,，,CE,DE,，即,BC,DE,.,PD,DE,D,，,PD,平面,PDE,，,DE,平面,PDE,，,BC,平面,PDE,.,(2),若,F,是,PA,的中点，求证：,PC,平面,DEF,.,证明,连结,AC,，交,DE,于,O,，连结,FO,.,延长线段,DE,，交,AB,的延长线于,H,，连结,CH,，,即,CD,2,BH,，,又,CD,2,AB,，,AH,CD,，又,CD,AB,，,四边形,AHCD,是平行四边形，,O,是,AC,的中点,.,F,是,PA,的中点，,PC,FO,，,FO,平面,DEF,，,PC,平面,DEF,，,PC,平面,DEF,.,2.,(2019,江苏,),如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,，,E,分别为,BC,，,AC,的中点，,AB,BC,.,求证：,(1),A,1,B,1,平面,DEC,1,；,证明,因为,D,，,E,分别为,BC,，,AC,的中点，,所以,ED,AB,.,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AB,A,1,B,1,，,所以,A,1,B,1,ED,.,又因为,ED,平面,DEC,1,，,A,1,B,1,平面,DEC,1,，,所以,A,1,B,1,平面,DEC,1,.,(2),BE,C,1,E,.,证明,因为,AB,BC,，,E,为,AC,的中点，所以,BE,AC,.,因为三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,是直棱柱，,所以,C,1,C,平面,ABC,.,又因为,BE,平面,ABC,，所以,C,1,C,BE,.,因为,C,1,C,平面,A,1,ACC,1,，,AC,平面,A,1,ACC,1,，,C,1,C,AC,C,，,所以,BE,平面,A,1,ACC,1,.,因为,C,1,E,平面,A,1,ACC,1,，所以,BE,C,1,E,.,题组二立体几何的综合问题,要点重组,(1),和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系,.,(2),立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明,.,3.,如图所示，在,Rt,ABC,中，,ABC,90,，,D,为,AC,的中点，,AE,BD,于点,E,(,不同于点,D,),，延长,AE,交,BC,于点,F,，将,ABD,沿,BD,折起，得到三棱锥,A,1,BCD,，如图,所示,.,(1),若,M,是,FC,的中点，求证：直线,DM,平面,A,1,EF,；,证明,D,，,M,分别为,AC,，,FC,的中点，,DM,EF,，,又,EF,平面,A,1,EF,，,DM,平面,A,1,EF,，,DM,平面,A,1,EF,.,(2),求证：,BD,A,1,F,；,证明,EF,BD,，,A,1,E,BD,，,A,1,E,EF,E,，,A,1,E,，,EF,平面,A,1,EF,，,BD,平面,A,1,EF,，又,A,1,F,平面,A,1,EF,.,BD,A,1,F,.,(3),若平面,A,1,BD,平面,BCD,，试判断直线,A,1,B,与直线,CD,能否垂直？请说明理由,.,解,直线,A,1,B,与直线,CD,不垂直，理由如下：,假设,A,1,B,CD,，,平面,A,1,BD,平面,BCD,，,A,1,E,BD,，平面,A,1,BD,平面,BCD,BD,，,A,1,E,平面,BCD,，又,CD,平面,BCD,，,A,1,E,CD,，,又,A,1,E,A,1,B,A,1,，,A,1,E,，,A,1,B,平面,A,1,BD,，,CD,平面,A,1,BD,，,BD,平面,A,1,BD,，,CD,BD,.,这与,A,1,E,BD,矛盾，故,A,1,B,与,CD,不垂直,.,4.,(2019,北京,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,平面,ABCD,，底面,ABCD,为菱形，,E,为,CD,的中点,.,(1),求证：,BD,平面,PAC,；,证明,因为,PA,平面,ABCD,，,BD,平面,ABCD,，,所以,PA,BD,.,因为底面,ABCD,为菱形，所以,BD,AC,.,又,PA,AC,A,，,PA,，,AC,平面,PAC,，,所以,BD,平面,PAC,.,(2),若,ABC,60,，求证：平面,PAB,平面,PAE,；,证明,因为,PA,平面,ABCD,，,AE,平面,ABCD,，,所以,PA,AE,.,因为底面,ABCD,为菱形，,ABC,60,，且,E,为,CD,的中点，,所以,AE,CD,.,所以,AB,AE,.,又,AB,PA,A,，,AB,，,PA,平面,PAB,，,所以,AE,平面,PAB,.,因为,AE,平面,PAE,，所以平面,PAB,平面,PAE,.,(3),棱,PB,上是否存在点,F,，使得,CF,平面,PAE,？说明理由,.,解,棱,PB,上存在点,F,，使得,CF,平面,PAE,.,取,PB,的中点,F,，,PA,的中点,G,，连结,CF,，,FG,，,EG,，,因为底面,ABCD,为菱形，且,E,为,CD,的中点，,所以,FG,CE,，且,FG,CE,.,所以四边形,CEGF,为平行四边形,.,所以,CF,EG,.,因为,CF,平面,PAE,，,EG,平面,PAE,，,所以,CF,平面,PAE,.,模板规范练,典例,(14,分,),如图，四棱锥,P,ABCD,的底面为正方形，侧面,PAD,底面,ABCD,，,PA,AD,，点,E,，,F,，,H,分别为,AB,，,PC,，,BC,的中点,.,求证：,(1),EF,平面,PAD,；,(2),平面,PAH,平面,DEF,.,模,板体验,审题路线图,规范解答,评分标准,证明,(1),取,PD,的中点,M,，连结,FM,，,AM,.,在,PCD,中，,F,，,M,分别为,PC,，,PD,的中点，,AE,FM,且,AE,FM,，,则四边形,AEFM,为平行四边形，,AM,EF,.,4,分,又,EF,平面,PAD,，,AM,平面,PAD,，,EF,平面,PAD,.,6,分,(2),侧面,PAD,底面,ABCD,，,PA,AD,，,PA,平面,PAD,，,侧面,PAD,底面,ABCD,AD,，,PA,底面,ABCD,.,DE,底面,ABCD,，,DE,PA,.,E,，,H,分别为正方形,ABCD,边,AB,，,BC,的中点，,Rt,ABH,Rt,DAE,，,则,BAH,ADE,，,BAH,AED,90,，,则,DE,AH,.,10,分,PA,平面,PAH,，,AH,平面,PAH,，,PA,AH,A,，,DE,平面,PAH,.,12,分,DE,平面,DEF,，,平面,PAH,平面,DEF,.,14,分,构建答题模板,第一步,找线线,：,通过三角形或四边形的中位线，平行四边形，等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直,.,第二步,找线面,：,通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行,.,第三步,找面面,：,通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行,.,第四步,写步骤,：,严格按照定理中的条件规范书写解题步骤,.,规范演练,1.,如图所示，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧面,BCC,1,B,1,为正方形，,A,1,B,1,B,1,C,1,，设,A,1,C,与,AC,1,交于点,D,，,B,1,C,与,BC,1,交于点,E,.,求证：,(1),DE,平面,ABB,1,A,1,；,证明,因为,三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,为直三棱柱，,所以侧面,ACC,1,A,1,为平行四边形，,又,A,1,C,与,AC,1,交于点,D,，所以,D,为,AC,1,的中点，,同理，,E,为,BC,1,的中点,.,所以,DE,AB,.,又,AB,平面,ABB,1,A,1,，,DE,平面,ABB,1,A,1,，,所以,DE,平面,ABB,1,A,1,.,(2),BC,1,平面,A,1,B,1,C,.,证明,因为三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,为直三棱柱，,所以,BB,1,平面,A,1,B,1,C,1,.,又因为,A,1,B,1,平面,A,1,B,1,C,1,，所以,BB,1,A,1,B,1,，,又,A,1,B,1,B,1,C,1,，,BB,1,，,B,1,C,1,平面,BCC,1,B,1,，,BB,1,B,1,C,1,B,1,，所以,A,1,B,1,平面,BCC,1,B,1,.,又因为,BC,1,平面,BCC,1,B,1,，所以,A,1,B,1,BC,1,.,又因为侧面,BCC,1,B,1,为正方形，所以,BC,1,B,1,C,.,又,A,1,B,1,B,1,C,B,1,，,A,1,B,1,，,B,1,C,平面,A,1,B,1,C,，,所以,BC,1,平面,A,1,B,1,C,.,2.(2019,南通期末,),如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AB,BC,，,D,为,AC,的中点，,O,为四边形,B,1,C,1,CB,的对角线的交点，,AC,BC,1,.,求证：,(1),OD,平面,A,1,ABB,1,；,证明,连结,AB,1,，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,，,四边形,B,1,C,1,CB,为平行四边形，,因为,O,为平行四边形,B,1,C,1,CB,对角线的交点，所以,O,为,B,1,C,的中点,.,又,D,是,AC,的中点，从而在,ACB,1,中，有,OD,AB,1,，,又,OD,平面,A,1,ABB,1,，,AB,1,平面,A,1,ABB,1,，,所以,OD,平面,A,1,ABB,1,.,(2),平面,A,1,C,1,CA,平面,BC,1,D,.,证明,在,ABC,中，因为,AB,BC,，,D,为,AC,的中点，,所以,BD,AC,.,又因为,AC,BC,1,，,BC,1,BD,B,，,BC,1,，,BD,平面,BC,1,D,，,所以,AC,平面,BC,1,D,，,因为,AC,平面,A,1,C,1,CA,，,所以平面,A,1,C,1,CA,平面,BC,1,D,.,考前三个月系列图书配套资源,本课结束,第三篇,
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