第六章一阶电路(精品)

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,第六章 一阶电路,6.1,零输入响应,6.2,零状态响应,6.3,全响应,6.4,阶跃响应,例,1,例,2,例,1,例,2,例,1,例,2,例,3,例,4,6-1,零输入响应,用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路，一般含有一个动态元件的电路就是一阶电路。,一、定义：外加激励为零，仅由初始,储能所产生的响应称为零输入响应。,我们以,RC,电路为例，所得结论用对偶关系可推,广到,RL,电路。,若 时，,S,1,打开，,S,2,闭合,求换路后,(),和,的变化规律。,二、定性分析,相应的波形如图所示,电容通过电阻放电，,和 按什么样的规律衰减？,衰减的快慢与元件参数有什么关系？定性分析不能给,出满意答案。,三、定量计算,编写方程，,求解响应，画出 的,电路如图,(c),所示，有,.(3.2.1,1),令,.,代入,3.2.1,1,式有,方程要有非零解则：,.,(,特征方程,),这是常系数的线性齐次方程，故,特征根（特征频率）,.(3.2.1,2),令,.(3.2.1,3),.,称一阶电路的时间常数，把,(3.2.1,2),代入式有：,根据初始条件确定系数,K,；,由式：,故：,.,.,结论：,1,、一阶电路的零输入响应总是按指数规律衰减，这,也就是初始储能在电阻中能量耗尽的过程；,2,、衰减的速率与一阶电路的时间常数 有关，愈大,衰减愈慢。这是因为：,（一定）,C,愈大，储能愈多，放电过程愈长。,（一定）储能一定，,R,愈大放电电流愈小，放电过程愈长。,3,、当衰减曲线已知时，时间常数的几何意义如图,(d),所示。它是曲线起始点的切线和时间轴的交点。,就是零输入响应衰减到初始值的 时，所需要,的时间。,图,(d),4,、根据对偶性对,RL,电路,.(3.2.1,4),5,、一阶电路的零输入响应总是按指数规律衰减可,写成通式：,.(3.2.1,5),可直接根据,(3.2.1,5),求一阶零输入响应。,6,、动态元件的储能从一种状态过渡到另一种状态需,经历一定时间,过渡过程（暂态过程），工程,上认为，当,t4,暂态过程结束。,四、分析示例,例,1,电路如图,(a),所示，电路已处于稳定，时开关打开，,求 时，、。,解：,1,、求 ，,电路稳定,L,看作短路。,2,、求 、，画 等效电路如图,(b),有：,注意：、亦可用 求得,例,2,电路如图,(a),所示，电路已处于稳定，开关打开，,求 的变化规律。,解：,1,、求 ，电路稳定,C,开路,2,、求 ，画 等效电路如图,(b),；,3,、求 ，用外加激励法求的电路如,图,(c),所示，有：,6-2,零状态响应,一、定义：,电路的初始状态储能为零，仅由外加激励所,产生的响应称为零状态响应,。,如图所示。,我们仍以,RC,为例。,在图,(a),的电路中，若 时，,S,1,打开，求换路后,(),、,、。,二、,定性分析,相应的波形如图,(b),所示，按,什么样的规律变化？,增长或衰减的快慢与元件参,数有什么关系,？,三、,定量分析,画出,t0,的电路如图,(c),所示。,这是常系数的线性非齐次方程，故,令,.,.(3.2.2,1),式中：,为微分方程的通解，它是 时,齐次方程的解；,为微分方程的特解。,-,通解，,-,特解。,同前：,.,仍是一阶电路的时间常数。,.(3.2.2,2),式中：,将式代入,(3.2.2,1),式，有：,为了求 ，注意到,(3.2.2,1),式方程的右边为常,数，所以,.(3.2.2,1),.,令,.,将、代入，有：,.,代入初始条件求,K,，,由式有：,.,把代入：,.,.,.,1,、,一阶电路在恒定激励下的零状态响应总是按指数,规律变化。即指数衰减,指数增长 ；,结论：,3,、当增长曲线已知时，时间常数的几何意义如图,所示。即从零增长到稳态,值的 时，所需要,的时间。,2,、变化的快慢与时间常数 有关，愈大变化愈慢。,4,、对,RL,电路,6,、过渡过程时间,5,、一阶电路恒定激励下的零状态响应，对 和 而言，,总是按指数规律增长，即：,一旦求得 、,其它支路的电压、电流可由它们,求得。（用一个电压源 来代替电容，用一个电流,源 来代替电感。）,四、,分析示例,例,1,电路如图,(a),所示，,开关闭合，求 的,、。,后从电感两端看,进来的戴维南等效电,路，如图,(b),解：,为求 ，先求,由图,(a),可得,例,2,电路如图,(a),所示，已知开关闭合，求 时,的 、。,解：,后从电容两端看进来的戴维,南等效电路，如图,为求 ，先求,2,、求,，,ab,两端短路的电路如图,1,、求,由,以上三式,可求得，,由图,(b),有：,由图,(c),有：,6-3,全响应,一、定义：由初始储能和外加激励共同产生的响,应称为全响应，如图,1,所示。,我们仍以,RC,电路为例研究一阶恒定激励的全响应求解及特点。,图,1,在图,(a),的电路中，已知,，,开关闭合，求 的,。,解：,.,.,根据初始条件求,K,，,由式有,.,代入式有,:,根据,式画出 随时间变化的规律如图,(b),所示。,二、,讨论,：,即全响应可分解为零输入响应,和零状态响应的叠加,按因果,关系分解,。,如图,(b),若令 ，有,显然,2,、由式可知，当,其中,1,、在式中，令 有,如图,(b),按过程分解,全响应的另一种分解形式是分解为暂态响应分量和稳态,响应分量的叠加,。,如图,(b),3,、一阶电路在恒定激励下的全响应总是按指数规律变化。,当 时，按指数规律衰减；,当 时，按指数规律增长。,4,、一阶恒定激励的响应总是按指数规律变化，可以写成,一个通式,三要素公式,即：,三、示例,求 时,。,例,1,电路如图所示，,已知,开关闭合，,10V:,1A：,解：,1,、求,-,零输入,2,、求,-,零状态,例,2,电路如图所示，原处于稳态,开关闭合，,求 的,。,解：因为电感和电容的放电相互独立故是两个一阶电路响应的叠加。,画 的等效电路,如图,(b),所示,画 的等效电路,如图所示,小 结,含有动态元件,C,、,L,的电路是动态电路，其伏安关,系是微分或积分关系。,电感,L:,(2),换路定理是指：换路瞬间电容电压和电感电流不,能跃变：,即,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,-,),i,L,(0,+,)=,i,L,(0,-,),电容,C:,（,4,）求解一阶电路,三要素公式,为：,（,3,）,零输入响应,：当外加激励为零，仅由动态元件初始,储能所产生所激发的响应,。,零状态响应,：电路的初始储能为零仅由输入产生,的响应。,全响应,：由电路的初始状态和外加激励共同作用而,产生的响应，叫全响应。,用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：,一、确定初始值,y,(0,+,),初始值,y(0,+,),是指任一响应在换路后瞬间,t=0,+,时的数值。,（,1,）,先作,t=0,-,电路,。,确定换路前电路的状态,u,C,(0,-,),或,i,L,(0,-,),这个状态即为,t,0,阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容,C,视为开路，电感,L,用短路线代替。,（,2,）作,t=0,+,电路,。,这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,-,)=U,0,，,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,-,)=I,0,，,在此电路中,C,用电压源,U,0,代替，,L,用电流源,I,0,代替。,若,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,-,)=0,或,i,L,(0,+,)=,i,L,(0,-,)=0,，则,C,用短路线代替，,L,视为开路。作,t=0,+,电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的,u,(0,+,),、,i,(0,+,),。,可用图（,a,）说明。,图（,a,）,电容、电感元件在,t=0,时的电路模型,二、确定稳态值,y(),作,t=,电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值,u,(),、,i,(),。,在此电路中，电容,C,视为开路，电感,L,用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。,三、求时间常数,RC,电路中，,=RC,；,RL,电路中，,=L/R,；,其 中，,R,是将电路中所有独立源置零后，从,C,或,L,两端看进去的等效电阻，,(,即戴维南等效源中的,R,0,),。,四、根据算得的三要素，依照下面公式写出所求的解：,例,3,开关动作前电路处于稳态，,求开关动作后的,u,C,(,t,),，,i,C,(,t,),t,=0,+,电容两端,R,0,=5k,1,2,3,4,W,k,1,W,k,2,5V,1,C,u,C,i,0,=,t,W,k,5,5V,100uF,t,=,W,k,5,5V,),(,C,i,),(,C,u,图示电路在开关闭合前已处于稳态，,试用三要素法求,t0,时,i,2,(t),和,i,3,(t),解：,以,5A,电流源代替电感，画出,t=0+,时的等效,电路，并在此电路中用叠加定理求得,i,2,(0+).,t,=,：,用短路代替,1H,电感，画出,t,的等效电路,例,4,1,2,求,值,求,Ro,：,将,30V,电压源短路,6,3,3,4,阶跃信号,1,单位阶跃函数,2.,实际意义 相当于,t=,0,时刻接入电路的单位电压源或单位电流源,若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：,(t),1,0,U,s,t=0,u,I,s,t=0,i,第,4,节 阶跃响应,u,i,3.,延迟单位阶跃函数,4,用阶跃函数表示信号,例,1,例,2,u,C,U,0,0,t,用阶跃函数将,u,c,表示为,(t),1,t,0,0,t,1.,阶跃响应,电路在零状态条件下，对单位阶跃函数激励的响应。,阶跃响应及其应用,零状态,(t),g(t),g,u,(t,),g,i,(t,),1,例,3,对,RC,串联电路,激励电压为,(t),在零状态下,(t),u,i,R,C,2.,阶跃响应的应用,对线性非时变电路，在零状态条件下,若电路对,(t),的响应为,g,(t),电路对,(t-t,0,),的响应为,g,(t-t,0,),若输入可以分解为延迟阶跃信号的和,则电路对,f(t),的零状态响应为,零状态,(,t-t,0,),g,(,t-t,0,),零状态,(,t,),g,(,t,),求,u,s,(t),作用,RL,电路时，,i,L,的零状态响应,解：此题可有两种分析方法,方法一,(,按两次换路分段求,),：,为,ZSR,（,零状态响应,）,为,ZIR,（,零输入响应,）,例,4,u,S,(t,),u,S,(t,),Us,方法二：（利用阶跃响应）,i,L,的单位阶跃响应为,先将激励电压分解为,根据叠加定理，当激励为,u,s,(t),时,u,S,(t,),u,S,(t,),Us,