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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.6 平面向量的数量积及运算律,5.6 平面向量的数量积及运算律,5.6 平面向量的数量积及运算律,5.6 平面向量的数量积及运算律,5.6 平面向量的数量积及运算律,2.4,平面向量的数量积及运算律,复习思考,:,向量的加法,向量的减法,实数与向量的乘法,两个向量的数量积,运算结果,向量,向量,向量,？,平面向量的数量积及运算律,物理意义下的,“,功,”,s,F,一个物体在力,F,的作用下产生的位移,s,那么力,F,所做的功应当怎样计算？,其中力,F,和位移,s,是向量，是,F,与,s,的夹角，而功是,数量,.,平面向量的数量积及运算律,两个非零向,量,的,夹,角,两个非零向量,a,和,b,，,作 ，则,叫做向量,a,和,b,的夹角,O,A,B,a,b,O,A,B,b,a,若 ，,a,与,b,同 向,O,A,B,b,a,若 ，,a,与,b,反向,O,A,B,a,b,若 ，,a,与,b,垂直，,记作,平面向量的数量积及运算律,平面向量的数量积的定义,已知两个非零向量,a,和,b,，,它们的夹角为,，我们把数量,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,a,b,，,即,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,平面向量的数量积及运算律,（1）,两向量的数量积,结果是一个,数量,，符号由夹角决定,.,（3）,a b,不能写成,a,b,，,a,b,表示向量的另一种运算,与以往运算法则的区别及注意点,（2）前面所提到的力所做的功,就是力,F,与其作用下物体,产生的位移,S,的数量积,F,S,.,而向量的,加法和减法,的结果还是一个,向量,.,平面向量的数量积及运算律,例题讲解,例1已知|,a,|=5,|,b,|=,4，,a,与,b,的夹 角 ，求,a b,.,解：,a b=|a|b,|,cos,平面向量的数量积及运算律,练习,1.,已知,|,p,|=8,|,q,|=6,向量,p,和,q,的夹角是,60,求,p,q.,练习,2.,设,|,a,|=12,|,b,|=9,a,b,=,54 ,求向量,a,和,b,的夹角,.,|b|,cos,的几何图形及其表示的几何意义,|,b,|,cos,叫向量,b,在,a,方向上的投影,为锐角时，,|,b,|,cos,0,为钝角时，,|,b,|,cos,0,为直角时，,|,b,|,cos,=0,平面向量数量积,a,b,的几何意义,向量,a,与,b,的数量积等于,a,的长度,|,a|,与,b,在,a,的方向上的投影,|b|,cos,的积,.,数量积的,性,质,平面向量的数量积及运算律,设,a,b,都是非零向量,e,是与,b,方向相同的单位向量,是,a,与,e,的夹角,则,（1）,e a=a e=|a|,cos,（2）,a,b,a b=,0,(,判断两向量垂直的依据),（3）,当,a,与,b,同向时，,a b,=|,a,|,|,b,|,，,当,a,与,b,反向时,a b,=,|,a,|,|,b,|,.,特别地,(,用于计算向量的模,),（5）,|,a b|,|,a,|,|,b,|,（4）,(,用于计算向量的夹角,),5.,数量积的运算律：,平面向量的数量积及运算律,数量积运算律,？,练,习,.,判,断,正,误,1若,a,=,0,，,则对任一向量,b,，,有,a,b,=,0,2,若,a,0,，,则对任一非零向量,b,有,a,b,0,3,若,a,0，,a,b,=,0,，,则,b,=,0.,4,若,a,b,=,0,，,则,a,、,b,中至少有一 个 为,0,5若,b,0,，,a,b,=,b,c,，,则,a,=,c.,6,若,a,b,=,a,c,则,b,c,当且仅当,a,=,0,时成 立,7对任意向量,a,有,平面向量的数量积及运算律,例,3,求证：,(1)(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,；,(2)(,a,b,)(,a,b,),a,2,b,2,例,4,已知,|,a,|,6,，,|,b,|,4,，,a,与,b,的夹角为,60,，求,(,a,2,b,)(,a,3,b,),例,5,已知,|,a,|=3,，,|,b,|=4(,且,a,与,b,不共线,),，当 且仅当,k,为何值时，向量,a,k,b,与,a,k,b,互相垂直？,例,6,设,x,，,y,轴正方向上的单位向量分别为,i,和,j,，若,a,b,=2,i,8,j,，,a,b,=,8,i,16,j,，求,a,b,例,7,设 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ，,，试求的值 ,2.4,平面向量的数量积及运算律,小结,:,(1),向量的数量积的物理模型是力的做功,.,(2),a,b,的结果是个数量,.,(3),利用数量积可以求两向量的夹角,特别是可以判定垂直,.,(4),二向量的夹角范围,0,.,(5),五条性质要掌握,.,2.4,平面向量的数量积及运算律,作业,:,1.,课本,P121,习题,5.6,第,2,题,第,3,题,第,6,题,再见！,再见！,再见！,
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