理论力学变质量动力学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章变质量动力学,6,1,变质量质点的运动微分方程,1.,变质量质点的运动微分方程,质点系在瞬时,t,的动量为,质点系在瞬时,t,+d,t,的动量为,根据动量定理,将上式展开得,略去高阶微量,并以,d,t,除各项,得,或,式中 是微小质量,d,m,在并入前,对于质点,m,得相对速度,令,变质量质点的运动微分方程,反推力,2.,常用的几种质量变化规律,1质量按线性规律变化,由 知,其反推力为,2质量按指数规律变化,由 知,其反推力为,单级火箭。,设火箭在真空中运动且不受任何外力作用，其喷射出的,气体相对于速度 的大小不变，方向与火箭运动方向相反，,此问题称,齐奥尔科夫斯基第一类问题。,例,6,1,变质量质点的运动微分方程，在运动方向上的投影为,或,（,a,）,设初始时刻,t,=0,时,将式a积分得,（,b,）,设火箭燃烧终了时质量为,速度为,v,令,质量比,有些资料取 为质量比,令,火箭的特征速度,它代表这一级火箭在初始速度 的基础上所能增加的速度,齐奥尔科夫斯基公式,它表明在 已知时，,欲使火箭达到特征速度 所应具备的质量比,运动微分方程在铅直方向上的投影为,设初始时刻,t,=0,时,且 为常量,如果火箭在真空中且处于均匀重力场内沿铅直方向向上,运动，称为,齐奥尔科夫斯基第二类问题,。,6,2,变质量质点的运动学普遍定理,1.,变质量质点的动量定理,记并入（或放出）质量的绝对速度为,即,记,称 为由于,并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力,变质量质点动量定理的微分形式,变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外力与由于并入或放出，质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。,设,t,=0,时质点质量为,速度为,得,变质量质点动量定理的积分形式,如果并入或放出质量的绝对速度,显然,即使,也不是常量,2.,变质量质点的动量矩定理,变质量质点对任一点,O,的动量矩为,式中 为从点,O,指向该质点的矢径,点,O,为定点,变质量质点的动量矩定理,变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作,用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入或放出,质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。,3.,变质量质点的动能定理,将上式各项点乘,得,由于,或,变质量质点的动能定理,变质量质点动能的微分与放出或并入的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。,变质量质点动能的微分与并入或放出的元质量由于牵连,运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力,所作的元功之和。,例,6,2,已知：图为传送砂子的装置，砂子从漏斗铅直流下，以速度,流下倾角为,的传送带上并沿斜面下滑,l,长度然后流出斜,面，设砂子以流量,q,=,常数（,kg/s,）从大漏斗中流下，斜面,上砂子是定常流动，其质量保持不变，不计摩擦。,求：若使砂子在斜面上的速度 为常数，倾角应为多少？,解：,研究传送带上的砂子,式中 为漏斗流入到传送带上的砂子质量元,为从传送带上流出的砂子质量元,为 流出时的绝对速度,有,常数,或,因此有,即,得,例,6,4,求：在如下两种情况下，当小方块已经有一半离开桌面时,留在桌面上的小方块的速度。,1忽略桌面上的摩擦力,2桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为f,：总质量为 ，总长度为l的一排方块放在如下图水,平面上，设小方块长度极短，数量很多，相邻的小方,块互相接触而不连接，初始静止，小方块最外端在桌,边，如图加一水平的常力 。,解：,研究仍在桌面上的一群小方块,小方块离开桌面瞬时,选坐标,Ox,（,1,）由于,且无摩擦,将动量定理式投影到轴,Ox,上，,有,式中,化简后别离变量得,利用初始条件,时,当 时，,2当有摩擦时,化简后得到,利用初始条件,时,利用 时，,有,