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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,信号与系统,signals and systems,哈尔滨工业大学自动化测试与控制系,引言,时域分析中,以冲激信号,(,t,),为基本信号，任意输入信号,e,(,t,),可分解为一系列冲激信号之和；,而本章将以正弦信号和虚指数信号,为基本信号，任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。,第三章 傅立叶变换,引言第三章 傅立叶变换,频域分析,从本章开始由,时域,转入,变换域,分析，首先讨论傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。,频域分析将,时间变量,变换成,频率变量,，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。,频域分析,本章主要内容,周期信号的傅立叶级数,非周期信号的傅立叶变换,傅立叶变换的基本性质,周期信号和抽样信号的傅立叶变换,一种变换域分析方法，其它变换方法的基础；,快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛,本章主要内容周期信号的傅立叶级数一种变换域分析方法，其它变换,预备知识,:,完备的正交函数集,信号分解：,常用完备正交函数集,：,i),三角函数集：,ii),复指数函数集：,预备知识:完备的正交函数集信号分解：常用完备正交函数集：ii,3.1,周期信号的傅立叶级数,一、三角形式的傅立叶级数,是区间,上的一个完备正交函数集，周期,满足一定条件的任一函数,在区间,都可描述为：,f,(,t,),1,任意信号的三角形式傅立叶级数展开,3.1周期信号的傅立叶级数 一、三角形式的傅立叶级数是区间上,3.1,周期信号的傅立叶级数,ii),iii),i),为 的偶函数,为 的奇函数,3.1周期信号的傅立叶级数 ii)iii)i)为,2,对于,周期函数,，由于 积分值与积分区间起始点无关,(,只要积分区间大小为,T,1,),，故在,均可以展成傅立叶级数,3,存在的充分非必要条件：狄利克雷条件,一周期内,一周期内 绝对可积，即,一周期内,间断点有限个；,极值有限个；,2对于周期函数 ，由于,4,其它三角形式,ii),iii),iv),i),为 的偶函数,为 的奇函数,4其它三角形式ii)iii)iv)i)为 的偶函,v),基波分量：,对应的,vi),奇次谐波分量：,对应的,vii),偶次谐波分量：,对应的,viii),直流分量：,c,0,v)基波分量：对应的vi)奇次谐波分量：对应的vii)偶次谐,5,周期信号的离散谱,ii),相位,(,频,),谱,:,i),幅度,(,频,),谱,:,谱线,，包络线,特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散,(,频,),谱,5周期信号的离散谱ii)相位(频)谱:i)幅度(频)谱:谱,二、指数形式的傅立叶级数,上的完备正交函数集，周期,1,任意信号的指数傅立叶级数展开,二、指数形式的傅立叶级数 上的完备正交函数集，周期1任,2,周期函数 积分值与 无关,(,只要积分区间,大小为,T,1,),，故在 有,2周期函数 积分值与 无,3,与,的关系,i),ii),iii),3与的关系i)ii)iii),4,幅度谱：,，相位谱：,实,傅立叶级数的特点：,ii),为奇函数,为偶函数,i),为实数时，,的正负表示,的,0,和,，幅度谱和相位谱画到一张图上,4幅度谱：，相位谱：实 傅立叶级数的特点：,5,负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。,每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的位置上各一半；,只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来才代表一个分量的幅度。,理解：,5负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。每个分量的幅度一,三、函数对称性与傅立叶系数关系,1,偶函数,E,f,(,t,),t,偶函数只含,直流项,和,余弦项,三、函数对称性与傅立叶系数关系1偶函数Ef(t)t偶,E,例,1,：周期矩形脉冲：只含,直流项,与,余弦项,E例1：周期矩形脉冲：只含直流项与余弦项,谱线间隔,零值点频率,谱线间隔零值点频率,指数形式：,频带宽度概念：,周期脉冲信号包含无穷多条谱线，即可分解为无穷多个频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内，常把 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度,B,f,与,成反比关系,指数形式：频带宽度概念：周期脉冲信号包含无穷多条谱线，即可分,若,T,1,不变，,减小一半,谱线间隔 只与周期,T,1,有关，且与,T,1,成反比；零值点频率 只与,有关，且与,成反比；而谱线幅度与,T,1,和,都有关系，且与,T,1,成反比与,成正比。,若T1不变，减小一半 谱线间隔,若,不变，,T,1,扩大一倍,周期,T,1,越大，谱线间隔越小（密集）,若不变，T1扩大一倍周期T1越大，谱线间隔越小（密集）,2,奇函数,f,(,t,),t,0,奇函数只含,正弦项,2奇函数 f(t)t0奇函数只含正弦项,例,2,：周期锯齿波只含正弦项,f,(t),E,/2,-,E,/2,t,0,例2：周期锯齿波只含正弦项f(t)E/2-E/2t0,3,奇谐函数：,半周期对称,0,3奇谐函数：半周期对称0,i),当,时，,ii),当,时，,同理,ii),当,时，,时，,i),当,奇谐函数,只含,基波,和,奇次谐波,的正弦和余弦项,i)当时，ii)当时，同理ii)当时，时，i)当奇谐函数只,例,3,：含直流的周期锯齿波：,4,去直流后为奇函数,为奇函数：,只含正弦项，则,只含直流和正弦项,t,0,t,0,例3：含直流的周期锯齿波：4去直流后为奇函数 为奇函数,5,去直流后为奇谐函数,为奇谐函数：,含直流、基波和奇次谐波,A,0,5去直流后为奇谐函数为奇谐函数：含直流、基波和奇次谐波 A,例,4,：周期三角波含直流、基波和奇次谐波,例4：周期三角波含直流、基波和奇次谐波,f,(,t,),6,偶函数,&,奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量,t,0,f(t)6偶函数&奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量t,0,例,5,：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。,0例5：对称方波只含基波和奇次谐波的余弦分量。,7,奇函数,&,奇谐函数：只含基波、奇次谐波的正弦分量,-1,1,t,f,(,t,),0,7奇函数&奇谐函数：只含基波、奇次谐波的正弦分量-11tf,8,偶谐函数：,不一定为,0,f,(,t,),t,0,8偶谐函数：不一定为0f(t)t0,i),当,时,ii),当,时,ii),当,时,时,i),当,同理,偶谐函数,只含,直流,和,偶次谐波,的正弦和余弦项,i)当时,ii)当时,ii)当时,时,i)当同理偶谐函数只,9,偶函数,&,偶谐函数：只含直流和偶次谐波的余弦分量,f,(,t,),t,0,9偶函数&偶谐函数：只含直流和偶次谐波的余弦分量f(t)t,10,奇函数,&,偶谐函数：只含偶次谐波的正弦项,0,10奇函数&偶谐函数：只含偶次谐波的正弦项0,11,半波余弦、半波正弦类,例,6,：全波整流：只含直流、余弦分量,0,E,规律收敛,11半波余弦、半波正弦类例6：全波整流：只含直流、余,半波整流：只含直流、基波和偶次谐波余弦分量,0,E,规律收敛,半波整流：只含直流、基波和偶次谐波余弦分量0E规律收敛,四、功率特性，有限级数，最小方均误差,功率特性,四、功率特性，有限级数，最小方均误差,：直流功率,称之为帕塞瓦尔方程,：交流功率,时域和频域的能量守恒：,周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开各谐波分量有效值平方和,其中 的交流功率为,有效值为,：直流功率称之为帕塞瓦尔方程：交流功率时域和频域的能量,2.,有限级数及最小方均误差,最小方均误差,有限级数的由来：,2.有限级数及最小方均误差最小方均误差有限级数的由来：,例,7,：对称方波,ii),变化越剧烈，高频分量越多：高频分量主要影响脉冲跳变沿，低频分量主要影响脉冲顶部,解：,i),项数越多，误差越小，,P99,例7：对称方波ii)变化越剧烈，高频,3.,吉布斯现象,N,很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变值的,9%,，并从不连续点开始以起伏震荡的形式逐渐衰减下去,9%,f,(,t,),t,0,项数越多，中出现,的峰起愈靠近 的不连续点,3.吉布斯现象N很大时，该峰起值趋于一个常数，它约等于总跳变,Review,作业：,3-1,，,3-3,，,3-5,，,3-10,三角形式的傅立叶级数,指数形式的傅立叶级数,函数对称性与傅立叶系数关系,功率特性，有限级数，最小方均误差,Review 作业：3-1，3-3，3-5，3-10三角形式,
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