基本不等式1公开课

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,进 入,2.4 基本不等式（一）,天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！,2002,年在北京举行的第,24,届国际数学家大会会标,天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！,a,b,问,2,：,RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE,是全等三角形，它们的面积和是,S,=,问,1,：,在正方形,ABCD,中,设,AF=a,BF,=b,则正方形的面积为,S=,问,3,：,S,与,S,有什么样的关系？,从图形中易得，,s s,即,探究1,探究2,问题,1,：,S,S,有相等的情况吗？何时相等？,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即,a=b,时，正方形,EFGH,缩为一个点，这时有,形的角度,数的角度,当,a=b,时,a,2,+b,2,2ab=(a,b),2,=0,结论：,一般地，对于任意实数,a,、,b,，我们有,当且仅当,a=b,时，等号成立,此不等式称为,重要,不等式,探究2,问题,2,：,当,a,b,为任意实数时，成,立吗？,所以，当且仅当,a=b,时，等号成立,a,2,+b,2,2ab,该结论成立的条件是什么？,若,a,bR,，那么,形的角度,数的角度,a,2,+b,2,2ab,=(a,b),2,0,a,2,+b,2,2ab,公式中等号成立的条件是什么？,是否仅仅当,a=b,时等号才成立？,若,a,bR,，那么,（当且仅当,a=b,时，取“,=”,号）,形的角度,数的角度,当,a=b,时,a,2,+b,2,2ab=(a,b),2,=0,a=b,若,a,bR,，那么,a,2,+b,2,2ab,（当且仅当,a=b,时，取“,=”,号）,公式两边具有何种运算结构？,数的角度,:,平方和不小于积的,2,倍,a,2,+b,2,2ab,类 比 联 想 推 理 论 证,（特别的）如果,a0 ,b,0,当且仅当,a=b,时,“,”,号成立,此不等式称,基本不等式,探究3,也可写成,那么,a,2,+b,2,2 a b,那么,a+b 2,（当且仅当,a=b,时，取“,=”,号）,若,aR,bR,若,a0 b0,概念,算术平均数,几何平均数,两个正数的算术平均数,不小于,它们的几何平均数,.,正数,a,b,o,A,B,P,Q,对基本不等式,2,的,几何意义,作进一步探究,:,如图,AB,是圆,o,的直径，,Q,是,AB,上任一点，,AQ=,a,BQ,=,b,过点,Q,作垂直于,AB,的弦,PQ,，连,AP,BP,则,PQ=,_,半径,PO=,_,几何意义：,圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,因为,POPQ,，所以,例,1,：,用,16,米长的篱笆围成一个菜园，可分别围成长方形，正方形，圆。问围成怎样的形状会使得菜园的面积最大？这个最大的面积是多少？,解：,1,）围成长方形时，设菜园的长为,6,米，宽为,2,米，,则面积为,12,平方米。,结论：,1,）,周长相等的情况下，圆的面积最大。,2,）围成正方形时，面积为,16,平方米,3,）围成圆时，面积是多少？,由周长为,16,可求得半径为,2,）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。,求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。,证明：若假设矩形的两边长为,a,、,b,，则面积为,相同的周长的条件下，对应的正方形的边长为,面积为,基本不等式,2,不等式的基本性质,7,发现运算结构,应用不等式,例,2,试求证,如果将条件改为,“,x0,所以,发现运算结构,应用不等式,发现运算结构,应用不等式,发现运算结构,应用不等式,变式,3.,试判断 与,2,的,大小关系？,若将条件,“,a0,b0,”,改为“,ab,0”,结论如何？,若将条件,“,a0,b0,”,改为“,ab,0,，,b,0,，那么,构建和谐结构绘制优美图形感受文化内涵体验实际应用,