高等代数学习提纲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等代数（上）学习提纲（第一章,第四章节,1,）,任课老师,:,周毅,一基本概念,1,预备知识,数域（含两数且对四则运算封闭）,映射,/,变换及其运算（单射、满射、双射、乘积映射、可逆映射、逆映射）,2,矩阵及其相关概念,矩阵的初等变换与等价关系,矩阵的秩,矩阵的运算：,初等变换,加、减法,数乘,乘法,方幂,转置,共轭,求逆,行列式,初等矩阵,一些特殊矩阵：对称阵、反对称矩阵、三角阵、幂零阵,方阵的迹,分块矩阵,行列式及它的余子式与代数余子式,3,向量空间,向量及其线性运算（,8,条运算公理）,向量组的表示、等价与相关性,向量组的极大无关组与秩,4,线性空间,线性空间及线性运算公理,线性空间的表示、等价、相关性、极大无关组及秩,线性空间的基与维数,线性空间中的元素在基下的坐标,5,线性方程组理论,线性方程组（齐次、非齐次、系数矩阵、增广矩阵）,齐次线性方程组的基础解系,非齐次线性方程组的特解,二基本性质,预备知识,矩阵及其相关概念,向量空间,线性空间,线性方程组理论,预备知识,1,单射 ：，使得：,满射 ：，使得：,可逆 ：，,使得：，记 为,2,代数学基本定理,矩阵及其相关概念,1,矩阵秩的性质,矩阵的行,/,列秩在行,/,列初等变换下保持不变,矩阵的行,/,列秩在列,/,行初等变换下保持不变,即：初等变换不改变矩阵的秩,2,矩阵运算的性质,交换律、结合律、分配律、不同运算次序的交换,3,矩阵秩的相关性质,当 ，满秩时取等号,4,的性质,且,矩阵及其相关概念,5,“左行右列”法则,6,满秩 为初等阵的乘积,均为满秩、可逆矩阵，使得：,可逆 满秩 为初等阵的乘积,，使得：或者,7,初等矩阵均可逆且其逆矩阵仍为初等阵,8,求逆运算与其它运算的关系,9,分块矩阵的运算,10,行列式的基本性质,11,行列式按行（按列）展开法,12,向量空间,1,向量组的相,/,无关性,相关 中至少有一个可以由其余 个表示,无关,，,相关 可以由 表示且表示唯一,相关,；,相关 或者,部分相关,整体相关,部分分量无关,该向量组无关,个 维向量相关,相关,相关,或者,2,无关且可以由 表示,（由此导出向量组“秩”的概念）,线性空间,1,设 ，若 可以由 表示，则 ，,若 ，则,2,设 为 的基，,（其中 ），,则,无关,无关,3,设 为 的基，,则,为 的基,可逆,4,坐标变换公式,线性方程组解理论,1,（其中 为 阶矩阵）,当 时，有非零解,2,解的结构,当 时，方程组只有零解,当 时，方程组由 个解构成基础解系,3,解的结构,三基本方法,由初等变换法解线性方程组,由初等变换法求矩阵的秩、向量组的秩、判别相关性、求极大线性无关组,解线性方程组的逆矩阵法和解矩阵方程,行列式的计算,求线性空间元素在基下的坐标及过渡矩阵,