第六节 几何形体上积分的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节,几何形体上积分的应用,一、几何应用,二、物理应用,几何形体上的积分：,重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,二重积分,第一类曲线、曲面积分,三重积分,空间区域 的体积,平面或空间曲线段,L,或 的弧长,空间曲面片的面积,平面区域,D,的面积,的度量,一、几何应用,（,1,）,用三重积分计算,，,.,利用柱面坐标,有,计算旋转抛物面,和平面,的体积,.,所围成的空间区域,例,1,解,（,1,）,用三重积分计算,用先二后一,(,截面法,),计算,有,（,2,）,用二重积分计算,圆柱体,曲顶柱体,例,2,求半径为,a,的球的表面积,.,.,解,上半球面,取坐标如图，,于是,瑕积分,二、物理应用,以平面薄片为例，推出质量，重心，转动惯量，引力等公式,.,1.,平面薄片的质量,平面薄片的质量为,其他几何形体类似,.,2.,平面薄片的重心,由力学知道,若质点系由,m,个质点组成，,它们位于,处，,其质量分别为,则质点系的,重心坐标,为,其中,分别是质点系对,y,轴和,x,轴的,静力矩,.,整个薄片对,y,轴和对,x,轴,的静力矩是（由微元法）,将薄片划分为若干小块,把它们看成质点系,.,取一个小块,看成一个质点，其质量为,它对,y,轴和,x,轴的静力矩为,平面薄片的,重心坐标,为,静力矩,求位于两圆,之间的均匀薄片的重心,.,由于对称性有,薄片面积为,由公式得,例,3,解,设面密度为,重心坐标为,特别地，当薄片是均匀密度时，,这时重心也称为,形心,.,重心坐标为,类似有立体 的,重心坐标,为,求均匀半球体,的形心,.,由对称性，形心在,z,轴上，所以,例,4,解,形心坐标是,（球面坐标）,3.,平面薄片地转动惯量,平面薄片对,x,轴和对,y,轴地转动惯量为,和,由力学知，质点对轴的转动惯量,质量,质点到轴的距离,一小块薄片,对,x,轴和对,y,轴地转动惯量为,求半径为,a,的均匀半圆薄片,(,面密度为,),对其直径边的转动惯量,.,解,取坐标系如图，,（,极坐标,）,转动惯量为,例,5,例,6,求半径为,R,、,中心角为 的圆弧,L,对于它的对称轴的转动惯量（设线密度为,常量 ）,.,解,取坐标系如图，,称轴,(,x,轴,),的距离平方为,所以有,圆弧上的点,(,x,y,),到对,4.,平面薄片,(,在,xoy,面,),对空间质点的引力,平面薄片对质点的引力的三个分力是,小 结,几何形体的度量：,一、几何应用,1.,平面区域和曲面的面积,2.,曲线弧的长度,3.,立体的体积,二、物理应用,1.,重心（形心）,2.,转动惯量,3.,引力,通过本节的学习应从中领悟用,元素法,建立简单的几何量和物理量的积分表达,式的方法,.,作 业,p.132,习题,10-1 5.,p.159,习题,10-4 7.,p.116,习题,9-4 2.12.,复习巩固几何形体上的积分：,重积分和第一类曲线、曲面积分,