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返回,后页,前页,1,连续函数概念,一、函数在一点连续性,三、区间上连续函数,二、间断点分类,第1页,第1页,定义,1,由定义1知，我们是通过函数极限来定义连续,一、函数在一点连续性,性，换句话说连续就是指,第2页,第2页,比如：,这是由于,第3页,第3页,又如：函数,第4页,第4页,极限,由极限定义,定义,1能够叙述为,:,对于任意正数,e,这是由于,存在,d,0,这样就得到函数,f,(,x,)在点,x,0,可改写为,第5页,第5页,连续性另外一个表示形式.,定义,2,假如,对,任意存在 当时,第6页,第6页,应函数(在,y,0,处)增量,第7页,第7页,为狄里克雷函数,.,证,注意:上述极限式决不能写成,例,1,第8页,第8页,由上面定义和例题应当能够看出:函数在点,x,0,类似于左、右极限，我们引进左、右连续概念.,要求这个极限值只能是函数在该点函数值.,极限存在是函数连续一个必要条件)，并且还,x,0,连续，那么它在点,x,0,必须要有极限(这就是说,有极限与在点,x,0,连续是有区别.首先,f,(,x,)在点,第9页,第9页,定义3,很明显,由左、右极限与极限关系以及连续函数,0,既是左连续，又是右连续.,点,x,定理4.1,f,在,有定义，若,定义可得：,第10页,第10页,例2,讨论函数,解,由于,点击上图动画演示,第11页,第11页,总而言之,因此,第12页,第12页,二、间断点分类,定义4,定义.若,f,在点,x,0,无定义,或者在点,x,0,有定义但却,由此,依据函数极限与连续之间联系,假如,f,在,点,x,0,不连续,则必出现下面两种情况之一:,或不连续点.,在该点不连续,那么称点,x,0,为函数一个间断点,第13页,第13页,等于,f,(,x,0,).,依据上面分析,我们对间断点进行下列分类：,1.可去间断点:若,一个可去间断点.,第14页,第14页,注,x,0,是,f,(,x,),跳跃间断点与函数,f,在点,x,0,是,点,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断,3.,若,f,在点,x,0,左、右极限至少有一个不存在,点.,否有定义无关.,第15页,第15页,证,由于,例3,因此,并且,是 一个可去间断点.,第16页,第16页,注,1.,第17页,第17页,例4,讨论函数,在,x,=,0 处,是否连续？若不连续，则是什么类型,2,.若点,x,0,是 可去间断点,那么,只要重新定,x,0,连续.,间断点？,第18页,第18页,因此,f,(,x,),在,x,=,0处右连续而不,左连续,从而不,解,由于,断点是跳跃间断点.,连续.既然它左、右极限都存在，那么这个间,第19页,第19页,例5,解,由于由归结原理可知，,均不存在，,点？,第20页,第20页,三、区间上连续函数,若函数,f,在区间,I,上每一点都连续,则称,f,为,I,比如,以及,都是,R,上连续函数；而函数,是区间,-1,1上连续函数,在,处连续分,别指右连续和左连续.,数在该点连续是指相应左连续或右连续.,上连续函数.对于闭区间或半闭区间端点,函,第21页,第21页,假如函数,f,在,a,b,上不连续点都是第一类,复习思考题,能要添加或改变一些分段点处值).,是由若干个小区间上连续曲线合并而成(当然可,一个按段连续函数.从几何上看,按段连续曲线就,并且不连续点只有有限个,那么称,f,是,a,b,上,第22页,第22页,
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