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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,*,容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。,容斥问题,(,一,),画圈圈图：,分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径！,这一讲我们先介绍容斥原理,1,：,对,n,个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质,a,分类与性质,b,分类，那么具有性质,a,或性质,b,的事物的总数,=N,a,+N,b,N,ab,N,a,N,b,N,ab,容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数部分有,例,1,、一个班有,55,名学生，订阅小学生数学报的有,12,人，订阅今日少年报的有,9,人，两种报纸都订阅的有,5,人。,(1),订阅报纸的总人数是多少？,(2),两种报纸都没订阅的有多少人？,经典题型,(1),根据容斥原理，能很快算出订阅报纸的总人数。,订报总数,=,小数,+,今日,-,两种都订的人数,订报总数,=12+9-5=16,人,总人数,55,人,订阅小学生数学报的有,12,人,订阅今日少年报的有,9,人,两种报纸都订阅的有,5,人。,总人数,55,人,单订阅小学生数学报的有,12-5=7,人,单订阅今日少年报的有,9-5=4,人,一种都没订的,55-7-5-4=39,人。,两种,都订的,5,人。,(2),两种报纸都没有订的人数：,一种未订人数,=55-16=39,人,首先，,根据已知条件画圈框图。,例1、一个班有55名学生，订阅小学生数学报的有12人，订,例,2,、有,62,名学生，其中会弹钢琴的有,11,人，会吹竖笛的有,56,人，两样都不会的有,4,人，两样都会的有多少人？,经典题型,分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。,依题意，画圈框图。,总人数,62,人,会弹钢琴的有,11,人,会吹竖笛的,56,人,两样都不会的,4,人。,会两样,?,人,依图可知，会弹钢琴,+,会竖笛,=11+56=67,人，,67,总人数,62,人,因为两样都会的人重复计数了，,超出的人数就是两样都会的人数吗？,会两样的是,67-62=5,人 吗？,为什么呢？,你又错了,只会钢琴,+,只会竖笛,+,会两样,+,两样都不会,=,总人数,62,会两样的,=,会钢琴,+,会竖笛+两样都不会-总人数,=11+56+4-62,=9,人,会钢琴,+,会竖笛,-,会两样,+,两样都不会,=,总人数,62,例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56,例,3,、在,1-1000,的全部自然数中，既不是,5,的倍数也不是,7,的倍数的数有多少个？,经典题型,依题意，画圈框图。,总,1-1000,的自然数,5,的倍数,有多少,既不是,5,的倍数，也不是,7,的倍数？。,5,和,7,的,公倍数,分析搞清类别关系，是解决数学问题的不二法门。,(1),求,5,的倍数的数量：,1000,5=200,(4),根据容斥原理：,是,5,或,7,的倍数的数有：,200+142-28=314,7,的倍数,有多少,(2),求,7,的倍数的数量：,1000,7=142.6,(3),求,既,是,5,的倍数,又,是,7,的倍数的数量：,1000,35=28.20,总,1-1000,的自然数,5,的倍数,有,200,既不是,5,的倍数，也不是,7,的倍数。,5,和,7,的,公倍数,28,7,的倍数,有,142,(5),既不是,5,，也不是,7,的倍数的：,1000-314=686,例3、在1-1000的全部自然数中，既不是5的倍数也不是7的,例,4,、艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有,23,幅画不是五年级的，有,21,幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有,8,幅。其他年级参展的画共有多少幅？,经典题型,注意，这种复杂关系的题目还是要先画图。,总,1-1000,的自然数,五年级,一、二、三、四年级,六年级,题目已知数量：,(1)23,幅不是五年级的,说明，这,23,幅是一二三四、六的,(2)21,幅不是六年级的,说明，这,21,幅是一二三四、五的,(3)23+21=44,就应该是：,一个 五年级的,+,一个 六年级,+,两个 一二三四的,(4),又已知五、六年级参展的画共有,8,幅,44-8=36,就是两个,一二三四的,其他年级数量,=36,2=18(,幅,),例4、艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，,1.,四,(2),班有,50,名学生，放学前每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有,35,人，做完数学作业的有,40,人。两种作业都做完的有多少人？,练,习,25,人,1.四(2)班有50名学生，放学前每人都至少做完了一门作业，,2、,一个旅行社有员工,36,人，其中会英语的有,24,人，会俄语的有,18,人，两样都不会的有,4,人。两样都会的有多少人？,练,习,10,人,2、一个旅行社有员工36人，其中会英语的有24人，会俄语的有,3、,某校选出,50,名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有,14,人，数学比赛获奖的有,12,人，有,3,人两项比赛都获奖。两项比赛都没获奖的有多少人？,练,习,27,人,3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖,4、,将边长分别为,4cm,和,5cm,的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上，已知重叠部分为,9,平方厘米。两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？,练,习,32,平方厘米,4、将边长分别为4cm和5cm的正方形纸片部分重叠，盖在桌面,5、,四,(1),班有,40,个学生，其中,25,人参加数学小组，,23,人参加航模小组，有,19,人两个小组都参加了。那么有多少人两个小组都没有参加？,练,习,11,人,5、四(1)班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参,6、,在一次数学测验中，所有同学都答了第一、二两题，其中答对第一题的有,35,人，答对第二题的有,28,人，这两题都答对的有,20,人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？,练,习,43,人,6、在一次数学测验中，所有同学都答了第一、二两题，其中答对第,7、,一个俱乐部里，会下中国象棋的有,69,人，会下国际象棋的有,52,人，这两种棋都不会下的有,12,人，都会下的有,30,人。这个俱乐部里有多少人？,练,习,103,人,7、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有5,8、,某班上体育课，全班排成,4,路纵队,(,每路纵队的人数相等,),。小芳排的位置是：从前面数第,6,个，从后面数第,7,个。这个班共有多少名学生？,练,习,48,名,8、某班上体育课，全班排成4路纵队(每路纵队的人数相等)。小,9、,有一根,36cm,长的绳子，从一端开始每隔,3,厘米做一个记号，每隔,4,厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成了多少段？,练,习,18,段,9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，,10、,科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有,114,件不是一年级的，有,96,件不是二年级的，一、二年级参展的作品共,32,件。其他年级参展的作品共有多少件？,练,习,89,件,10、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,
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