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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,离 散 数 学,离 散 数 学,代数系统的基本概念,1,半群与含幺半群（独异点）,2,子群与陪集,4,同态与同构,环与域,6,代数系统,群（阿贝尔群与循环群）,3,5,代数系统的基本概念1半群与含幺半群（独异点）2子群与陪集4同,定义,1:,设,是含,2,个二元运算的代数系统,若：,(1),是,阿贝尔,群,；,(2),是,半群,；,(3),运算,*,对,是可,分配,的；,则称,是,环,。,通常把第,1,个运算,称为“加法”；,第,2,个运算,*,称为“乘法”。,环,定义1:设是含2个二元运算的代数系统,如：,以下代数系统都是环：,环,，其中,I:,整数集，,+,、,是加法和乘法,，其中,Q:,有理数集，,+,、,是加法和乘法,，其中,R:,实数集，,+,、,是加法和乘法,如：以下代数系统都是环：环，其中,环的性质：,是环，则对,a,b,c R,，有：,(1)a,=,a=,（,环中的,加法,幺元,是,乘法零元,）,(2)a,(-b)=(-a),b=-(a,b)(3)(-a),(-b)=a,b(4)a,(b-c)=a,b-a,c(5)(b-c),a=b,a-c,a,其中：,是加法幺元，,-a,是,a,的,加法,逆元，,a,-1,是,a,的,乘法,逆元，,a+(-b),记为,a b,环的性质,环的性质：是环，则对a,b,c R，,环的性质：,是环，则对,a,b,c A,，有：,(1)a,=,a=(2)a,(-b)=(-a),b=-(a,b),(3)(-a),(-b)=a,b,环的性质,证明：,(1),a=a,=,+,a=,a=(+),a=,a+,a,由消去律，得,=,a,，同理可得,a,=,(2)a,(-b)=(-a),b=-(a,b),a,(-b),+,a,b,=a,(-,b+b)=a,=,同理,a b,+,a (-b),=,-(a,b)=a,(-b),；同理,-(a,b)=(-a),b,(3)(-a),(-b)=a,b,由,(2)(-a),(-b)=-(a,(-b)=-(-(a,b)=a,b,环的性质：是环，则对a,b,c A，,环的性质：,是环，则对,a,b,c A,，有：,(4)a,(b-c)=a,b-a,c(5)(b-c),a=b,a-c,a,环的性质,证明：,(4)a,(b-c)=a,b-a,c,a,(b-c)=a,(b+(-c)=a,b+a,(-,c),=a,b-a,c,(5)(b-c),a=b,a-c,a,证法同,(4),环的性质：是环，则对a,b,c A，,定义,2:,是环：,(1),若,是交换半群，则称,是,交换环；,(2),若,是含幺半群，则,是,含幺环；,(3),若,A,中存在两个非零元素,a,和,b,，,a,b,，,使,ab=,，则称,a,和,b,为,零因子,，而称,是,含零因子环；,否则称,是,无零因子环。,特殊环,定义2:是环：(1)若A,例题,1,：,代数系统,是环，,N,k,=0,1,k-1,，,+,k,和,k,是模,k,加法和乘法运算，是否含零因子环。,解：,k=5,时，,N,5,=0,1,2,3,4,，,0,是,k,零元,a 0,b0,，,a,5,b=(a b)mod 5,a b,5,的倍数，,a,5,b,0,，,是,无零因子环,k=6,时，,N,6,=0,1,2,3,4,5,，,2,N,6,，,3,N,6,，,2,6,3=(2 3)mod 6=0,而,2,0,，,3 0,是含零因子环，其中,2,和,3,是零因子,要根据,k,的具体值来确定是否是含零因子环,特殊环,例题1：代数系统是环，Nk=0,定义,3:,是代数系统，若满足,(1),是,阿贝尔群,（交换群）,(2),是,可交换独异点，且无零因子,(3),运算,对运算,+,是可分配的,则称,为,整环,。,（即：可交换的含幺元的无零因子环）,特殊环：整环,无零因子环,交换环,含幺环,整环,环,几种环之间的继承关系：,定义3:是代数系统，若满足,定理,5-9.2,：,整环,中的,无零因子,条件,等价于,乘,法消去律,。,特殊环,证明：,(1),若无零因子，则有消去律,若无零因子并设,c,且c,a,=c,b,，则有,c,a,-c,b,=,，,c,(a-,b)=,a-,b=,a=b,左消去律成立，同理可证右消去律成立；,(2),若消去律成立，则无零因子,（反证法,）,假设存在零因子,a,、,b,，即,a ,，,b ,有,a,b=a,，由消去律得,b=,，与,b ,矛盾，,假设错,若消去律成立，则,无零因子,定理5-9.2：整环中的无零因子条件等价,定理,5-9.2,：,整环,中的,无零因子条件,等价于,乘法消去律,。,上节回顾,证明：,(1),若无零因子则有消去律,若无零因子并设,c,且c,a,=c,b,，则有,c,a,-c,b,=,，,c,(a-,b)=,a-,b=,a=b,左消去律成立，同理可证右消去律成立；,(2),若消去律成立，则无零因子,（反证法,）,假设存在零因子,a,、,b,，即,a ,，,b ,有,a,b=a,，由消去律得,b=,，与,b ,矛盾，,假设错,若消去律成立，则,无零因子,定理5-9.2：整环中的无零因子条件等价,定义,4,：,是代数系统，若满足：,(1),是阿贝尔群,(2),是阿贝尔群（,是加法幺元、乘法零元,）,(3),运算,对运算,+,是可分配的,则称,为域,。,即：,是域，,|A|1,，,中含幺元，可交换，,A-,中每个元素有乘法逆元。,域,例：,是域,：,是阿贝尔群；,是阿贝尔群,不是域,，,不是群，,例如2,I-0,，但在,中，,2,没有逆元，,1/2,I-0,定义4：是代数系统，若满足：(,定义,1:,设,是含,2,个二元运算的代数系统,若：,(1),是,阿贝尔,群,；,(2),是半群；,(3),运算,*,对,是可分配的；,则称,是,环。,通常把第,1,个运算,称为“加法”；,第,2,个运算,*,称为“乘法”。,上节回顾,定义1:设是含2个二元运算的代数系统,环的性质：,是环，则对,a,b,c A,，有：,(1)a,=,a=,（,环中的加法幺元是乘法零元,）,(2)a,(-b)=(-a),b=-(a,b)(3)(-a),(-b)=a,b(4)a,(b-c)=a,b-a,c(5)(b-c),a=b,a-c,a,其中：,是加法幺元，,-a,是,a,的,加法,逆元，,a,-1,是,a,的,乘法,逆元，,a+(-b),记为,a b,上节回顾,环的性质：是环，则对a,b,c A，,定义,2:,是环：,(1),若,是交换半群，则称,是,交换环,；,(2),若,是含幺半群，则,是,含幺环,；,(4),若,A,中存在两个非零元素,a,和,b,，使,ab=,，则称,a,和,b,为零因子，而称,是,含零因子环,；,否则称,是,无零因子环,。,上节回顾,定义2:是环：(1)若A,定义,3:,是代数系统，若满足,(1),是,阿贝尔群,（交换群）,(2),是,可交换独异点，且无零因子,(3),运算,对运算,+,是可分配的,则称,为,整环,。,（即：可交换的含幺元的无零因子环）,上节回顾,无零因子环,交换环,含幺环,整环,环,几种环之间的继承关系：,定义3:是代数系统，若满足,是代数系统，满足：,是,阿贝尔群,是,阿贝尔群,（即,是,可交换独异点,）,运算,对运算,+,是可分配的,整环与域的关联,是代数系统，满足,是,阿贝尔群,是,可交换独异点，且无零因子,运算,对运算,+,是可分配的,整环,域,整环,和,域,可认为是,Twins,，略有不同。,定理,5-9.3,：,域一定是整环。,定理,5-9.4,：有限整环,一定是域。,是代数系统，满足：整环与域的关联,定理,5-9.3,：,域一定是整环。,域,证明：,设,是域，则,是阿贝尔群，,e,A,e,为乘法幺元，,可交换，,是可交换独异点。,整环是：,可交换的含幺元的无零因子环,只需证,满足无零因子条件，,即只需证,满足乘法消去律。,设,e,是乘法幺元，对于,a,b,c,A,，且,a,，若有,a,b=a,c,，,则,b=e,b=a,-1,a b=a,-1,(a c)=e c=c,满足乘法消去律 ,是整环。,定理5-9.3：域一定是整环。域证明：设A,+,定理,5-9.4,：,有限整环必是域。,域,证明：,设,是有限整环，加法幺元,是,的零元，并且,是,可交换独异点,具有乘法幺元,e,，且,e,，,也是可交换独异点,只需证,中每个元素都有逆元。,对于,a,i,a,j,c,A,，且,a,i,a,j,c ,，且,a,i,a,j,时，,a,i,c,a,j,c,，如：,A=a,1,a,2,a,i,c,a,i+1,a,i+2,a,n,，,c,与,a,i,a,j,各不相同。,A c=a,1,c,a,2,c,a,i,c,c,c,c,a,i+1,c,a,i+2,c,a,n,c,A,有限，且运算封闭 ,A c,A,，且,|A c|=|A|,，所以,A c,=,A,设,e,是,幺元，则,e,A,，,c,是任意的，,且,c ,，,又,A c=A ,必有,a,i,A,，使,a,i,c,=e,，,是整环，,可交换，,a,i,c=c,a,i,=e c,的逆元是,a,i,，,A-,中任一元素都有逆元。,是域,定理5-9.4：有限整环必是域。域证明：设A,+,21,P229,：,6,作业,21P229：6 作业,
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