重积分三重积分的计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,重积分,第三节 三重积分的计算方法,第三节 三重积分的计算法,一,.,在直角坐标系中的计算法,化成三次积分,仿照二重积分研究其计算方法,:,在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域 分成,n,份,(,大部分是小长方体,),可知,:,体积元素,z,x,y,D,1.,设积分区域 的边界曲面与平行于,坐标轴的直线相交不多于两点,.,例如,与平行于,z,轴的直线相交不多于两点,.,D,为 在,xoy,面上的投影域,.,上下曲面为,:,若,D,是,X,型域,先对,z,后对,y,再对,x,的三次积分,同理,可将 投影到,yoz,面或,zox,面上,使三重积分化成其他顺,序的三次积分,:,2.,设积分区域 的边界曲面与平行于坐标轴的直线相交多于,两点,.,可以将积分域分成简单子域,利用积分可加性计算,.,例,1,计算,解,其中 由三个坐标面及,围成,将 向,xoy,面作投影,则,计算三重积分时也要注意积分次序的选择,例,2,计算,其中 由 及,围成,4,计算过程繁琐,能否把极坐标结合到空间坐标系内,?,柱面坐标系,二,.,在柱面坐标系中的计算法,设空间一点,M(x,y,z),点,M,在,xoy,面上的投影,P,的极坐标为,则 称为点,M,的,柱面坐标,.,z,x,y,M,P,r,变化范围,坐标面,常数,常数,常数,以,z,轴为轴的圆柱面,过,z,轴的半平面,平行于,xoy,面的平面,与直角坐标的关系,体积元素,这是因为,:,如果用三组坐标面划分,大部分子域为小柱体,近似看作长方体,则,:,化成三次积分,前面例,2,计算,其中 由 及,围成,4,三,.,在球面坐标系中的计算法,设空间一点,M(x,y,z),可用下列三个数确定,:,则 称为点,M,的,球面坐标,.,变化范围,与直角坐标的关系,(1).,点,M,与原点的距离,r,;,(2).,与,z,轴正向的夹角,;,(3).,在,xoy,面上的投影向量与,z,轴的夹角,.,z,x,y,M,P,r,体积元素,这是因为,:,如果用三组坐标面划分,大部,分子域为如图小立体,近似看作长方体,则,:,化成三次积分,坐标面,常数,常数,常数,以原点为心的球面,过,z,轴的半平面,以原点为顶点,以 为半顶角的圆锥面,.,例,3,计算,其中 由,围成,.,例,4,计算,其中 由,围成,.,与,例,5.,选择适当的坐标系,将,化成三次积分,.,由半径为,a,的球面与半,顶角为 的内接锥面,围成,a,2a,注,:,选择合适的坐标系是计算三重积分的关键,(1).,区域由平面围成,常选择直角坐标系,;,一般的,:,(3).,区域由球面锥面围成,被积函数形如,常选择球面坐标系,.,(2).,区域由圆柱面围成,被积函数形如,常选择柱面坐标系,;,题型解析,