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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,h,*,球的概念与性质,1,h,观察现实生活中的各种球形,2,h,圆的定义,平面内,到一个,定点,距离,等于定长,的点的轨迹叫做,圆,。,圆只是一条曲线，而不是一个“,圆面,”。,圆面,：平面内到一个定点的距离,小于或等于,定长的点的轨迹叫做,圆面,。,复习圆的有关概念,问题,：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？,定义1：到一个定点的距离,等于,定长的点的集合是一个,球面,。定点,球心,，定长,球半径,定义2：到一个定点的距离,小于或等于,定长的点的集合是一个,球体,（简称“,球,”）。,3,h,一、球的概念,:,半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.,将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球,与定点(圆心)的距离等于或小于定长(半径)的点的集合叫做球体，简称球.,球的旋转定义,球的集合定义,1.球的定义,4,h,2.球的有关概念,球体与球面的区别：,球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面,.,球,(,即球体,):,球面所围成的几何体,.,它包括,球面和球面所包围的空间,.,半圆的圆心叫做,球心,.,一个球用它的球心字母,来表示，例如 球O.,连结球心和球面上任意一点的,线段叫做球的半径（线段,OP).,连结球面上两点并经过球心的,线段叫做球的直径（线段,AB).,O,A,B,P,5,h,问题,：一条,直线,与,圆,相交，在,圆内,的部分是什么图形？,把,直线,换成,平面,，,圆,换成,球,，即用一个平面去截球，,情况又怎样呢,？,我们用一个平面去截一个球,是,什么图形呢？,圆面,二、球的截面,6,h,O,2.球心到截面的距离d与球的半径R和截面半径r有下面的关系:,1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面,用一个平面去截一个球,截面是圆面(黄色圆面).,截面的性质：,截面的定义：,7,h,大小圆的定义：,1.大圆：,球面被,经过球心,的平面截得的圆叫做大圆.如O(浅蓝色圆面）.,o,2.小圆：球面被,不经过球心,的平面截得的圆叫做小圆.如O(黄色圆面）.,问题：,在球中，球心到截面的距离 与截面圆的大小,有什么关系？,8,h,R,高等于底面半径的旋转体体积对比,三、球的体积和表面积,9,h,O,A,B,C,例1:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心 O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，,截面O的半径为r，,10,h,O,A,B,C,例1:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心 O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,11,h,4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.,练习1:,1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来,的_倍.,2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来,的_倍.,3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.,12,h,2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm,3,.,8,3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.,练习2:,13,h,7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，,那么这个大铅球的表面积是_.,6.若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为_.,练习2:,5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，,则它的外接球的表面积为_.,14,h,四、球面距离,15,h,纬度：,P的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度,P,A,纬度是线面角,16,h,本,初,子,午,线,经过P点的经线与地轴确定的半平面,和,本初子午线与地轴确定的半平面,所成的二面角的度数（即AOB的度数）,经度：,P,B,O,A,M,Q,经度是二面角,17,h,纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心连线和赤道所在平面所成的角的度数，即线面角的度数.若点P在北半球，就是北纬多少度；若点P在南半球，就是南纬多少度,经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度数有关.经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小，.若旋转是向东进行的，则点P的经度就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点P的经度就是西经多少度.,18,h,假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机,设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程大约是多少呢?,(3)这无数条弧长哪条最短?,(1)北京和纽约间的距离是一条线段的长吗?,(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢?,我们不妨先看一个例子！,不是,是一端圆弧的长.,无数条.,19,h,例1：已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度线上，其经度差为90度.,求(1)在北纬45度圈上劣弧 的长度;,(2)在经过A、B两地的大圆上劣弧 的长度.,AB,AB,O,O,1,A,B,m,20,h,AB,纬圆中 的长度为,O,O,1,A,B,m,A,大圆中劣弧 的长度为,AmB,21,h,大圆中 的长度小于纬圆中 长度,AmB,AB,O,O,1,A,B,m,22,h,球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度.,即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.,P,Q,O,1.定义,四、球面距离,23,h,图中的弧 的长度就是,AB,两点的球面距离.,.,.,.,B,A,O,关键：球心角(弧度),2.两点的球面距离公式,球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角，再求出弧长.,飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为航线航行.,24,h,结合平面几何知识:在以两个定点为端点的弧中，半径越大弧长越小.(见右图）显然，在球面上北京、纽约间的最短距离是过这两点的大圆上劣弧的长.,P,Q,.理论根据,O,O,1,A,B,m,25,h,例2：我国首都靠近北纬60纬线。求北纬60纬线的长度约等于多少km（地球半径约为6 370km）.,O,A,B,轴截面,B,O,K,60,A,26,h,解：,如图，A是北纬60纬线上的一点，AK是它的半径，所以OKAK.设c是北纬60的纬线长，因为AOB=OAK=60，所以,c=2AK,答：北纬60纬线长约等于2.001510,4,km.,C2.001510,4,（km）.,23.14263700.5,=2OAcosOAK,A,B,O,K,60,由计算器算得,27,h,1.,位于同一经线上两点的球面距离,例3.求东经,线上，纬度分别为北纬,和,的两地A,，,B,的球面距离,(设地球半径为R).,赤道,，根据,A，,B,的球面距离为,解,二.应用举例,28,h,练习：,已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东经121,0,北纬31,0,，台北的位置约为东经121,0,北纬25,0,求两个城市间的距离。,29,h,练习：,已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东经116,0,北纬40,0,，纽约的位置约为西经74,0,北纬40,0,求两个城市间的距离。,30,h,（1）设地球的半径为R，在北纬30 纬线上有甲乙两地，它们的经度相差120 ，那么这两地的纬线的长为,_,.,填空题:,A,K,B,地,轴,C,赤 道,经度120,纬度30,30,O,31,h,（2）设地球的半径为R，在北纬30,圈上有A、B,两点，它们的经度相差180,，则A、B两点的球面距离是_.,A,K,B,地,轴,C,赤 道,30,O,30,30,P,（2）解：POB=30,AOB=120,又AB的球面距即大圆ACB上的劣弧 的长,ACB,的弧长,ACB,填空题:,32,h,（4）设地球的半径为R，在北纬45,圈上有A、B,两点，它们的经度分别是东经140,与西经130,，则A、B两点的球面距离是_.,填空题:,（3）设地球的半径为R，在北纬45,圈上有A、B,两点，它们的经度分别是东经110,与东经20,，则A、B两点的球面距离是_.,33,h,球的概念，球截面的性质,球面上两点间的距离,地球经、纬度的含义,球的直观图作法,课堂小结,34,h,再见,35,h,
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