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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,6.3,维数 基 坐标,*,2 线性空间的定义,与简单性质,3 维数,基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3,维数,基与坐标,6.3 维数 基 坐标,引,入,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,基的问题,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,坐标问题,6.3 维数 基 坐标,一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义,设V 是数域 P 上的一个线性空间,（,1,）,和式,的一个,线性组合,称为向量组,（,2,）,，若存在,则称向量 可经向量组,线性表出,；,使,6.3 维数 基 坐标,若向量组 中每一向量皆可经向量组,线性表出，则称向量组,可经向量组,线性表出,；,假设两向量组可以互相线性表出，那么称这两个向量组,为,等价的,（,3,）,，若存在不全为零的数,，使得,则称向量组为,线性相关,的,；,6.3 维数 基 坐标,（,4,）,如果向量组 不是线性相关,的，即,只有在时才成立，,则称,为,线性无关,的,（,1,）,单个向量 线性相关,单个向量 线性无关,向量组,线性相关,中有一个向量可经其余向量,线性表出,2、有关结论,6.3 维数 基 坐标,（,2,）,若向量组线性无关，且可被,向量组 线性表出，则,若 与 为两线性无关的,等价向量组，则,（,3,）,若向量组线性无关，但向量组,线性相关，则 可被向量组,线性表出，且表法是唯一的,6.3 维数 基 坐标,因为，对任意的正整数,n,，都有,n,个线性无关的,向量,1、无限维线性空间,假设线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，,那么称 V 是无限维线性空间,例,1,所有实系数多项式所成的线性空间 R,x,是,无限维的.,1，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基 坐标,2、有限维线性空间,n,维线性空间,；常记作 dimV,n,.,1n 维线性空间：,假设在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是,任意 n1 个向量都是线性相关的，那么称 V 是一个,注：,零空间的维数定义为,0,.,dimV 0,V0,6.3 维数 基 坐标,在,n,维线性空间 V 中，,n,个线性无关的向量,2基,，称为 V 的一组,基,；,下的,坐标,，记为,3坐标,设,为线性空间,V,的一组基，,则数组，就称为,在基,若,6.3 维数 基 坐标,有时也形式地记作,注意：,向量,的坐标,是被向量,和基,唯一确定的即向量,在基下的坐标唯一的.,但是，在不同基下的坐标一般是,不同的,6.3 维数 基 坐标,3、线性空间的基与维数确实定,定理,：,若线性空间,V,中的向量组 满足,）线性无关；,）可经 线性表出,则,V,为,n,维线性空间，为,V,的一组基,6.3 维数 基 坐标,证明,：,线性无关，,V的维数,至少为,n,任取,V,中,n,1,个向量 ，,由)，向量组,可用向量组,若是线性无关的，则,n,1,n,，矛盾,线性表出.,V,中任意n1个向量是线性相关的,故，,V,是,n,维的，就是,V,的一组基,6.3 维数 基 坐标,例2,3 维几何空间R,3,是R,3,的一组基；,也是R,3,的一组基,一般地，向量空间,为,n,维的，,就是 P,n,的一组基称为P,n,的,标准基,.,6.3 维数 基 坐标,n,维线性空间,V,的基不是唯一的，,V,中任意,n,个,任意两组基向量是等价的,例31证明：线性空间Pxn是n 维的，且,注意：,线性无关的向量都是V的一组基,2证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1,1,，,x,，,x,2,，,x,n,1,为,P,x,n,的一组基,也为P,x,n,的一组基,6.3 维数 基 坐标,证:1首先，1，x，x2，xn1是线性无关的,1，,x,，,x,2,，,x,n,1,为P,x,n,的一组基，,从而，P,x,n,是,n,维的.,其次，,可经 1，,x,，,x,2,，,x,n,1,线性表出,注：,在基1，,x,，,x,2,，,x,n,1,下的坐标就是,此时，,6.3 维数 基 坐标,21，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的,又对,，按泰勒展开公式有,即,f,(,x,),可经,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,(,x,a,),n,1,线性表出.,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,(,x,a,),n,1,为,P,x,n,的一组基,在基,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,(,x,a,),n,1,下的坐标是,注：,此时，,6.3 维数 基 坐标,假设把C看成是实数域R上的线性空间呢？,而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，,i,就为,例4,求全体复数的集合,C,看成复数域C上的线性,空间的维数与一组基；,解：,复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的,一组基；,它的一组基,注,：,任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，,数1就是它的一组基.,6.3 维数 基 坐标,解：,令,则,是线性无关的,事实上，由,，即,有,又对,，有,例,5,求数域,P,上的线性空间的维数和一组基,是 的一组基，是,4,维的,6.3 维数 基 坐标,矩阵 在基 下的,坐标就是,一般地，数域,P,上的全体 矩阵构成的线性空间,为 维的，,注：,就是 的一组基,矩阵单位,6.3 维数 基 坐标,下的坐标，其中,解：,设,，则有线性方程组,解之得，,在基,下的坐标为,例,6,在线性空间 中求向量 在基,6.3 维数 基 坐标,练习,1.全体正实数R对于加法与数量乘法：,构成实数域,R,上的线性空间，求,R,的维数与一组基.,2,.,求实数域,R,上的线性空间,V,的维数与一组基.这里,6.3 维数 基 坐标,1,解,:数1是,R,的零元素.,即,x,可由,a,线性表出.,任取,R,中的一个数,a,且 ，则,a,是线性无关的.,故,R,是一维的，任一正实数就是,R,的一组基.,6.3 维数 基 坐标,2,解,:,6.3 维数 基 坐标,下证线性无关.设,得齐次线性方程组,其系数行列式,6.3 维数 基 坐标,方程组,只有零解：,故线性无关.,又由知，任意均可表成的线性组合，,所以,V,为三维线性空间，就是V的一组基.,6.3 维数 基 坐标,
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