向量的坐标表示及其运算课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.1,向量的坐标表示及其运算,8.1,向量的坐标表示及其运算,*实数与向量的乘积的意义,:,*实数,与非零向量 的乘积是一个向量,记作,:,*对向量 的模和方向规定如下,:,(2),当 时,与 的方向相同,;,当 时,与 的方向相反,;,(3),当 时,;,(4),任何实数,与零向量的乘积为,零向量,.,*两个非零向量平行的充要条件,:,旧知回顾,*单位向量的定义及其计算公式,:,*把模为,1,的向量叫做单位向量,.,*对于任意的非零向量,与它同方向的单位向,量叫做向量 的单位向量,.,记作,:,*单位向量的计算公式,:,向量作为一种常见的数学概念,.,它是即有大小又有方向的,.,前面已学习了其,“,形,”,的相关知识,本节开始就要研究其,“,数,”,的相关知识,-,向量的坐标,.,引入,:,1.,平面内建立了直角坐标系,点,A,可以用什么来,表示,?,2.,平面向量是否也有类似的表示呢,?,A,(a,b),a,b,x,y,O,1,，在平面直角坐标系中，方向与,x,轴和,y,轴,正方向,分别相同的两个,单位向量,叫做,基本单位向量,，分别记为,A,1,1,2,，以原点,O,为起点，,A,为终点的向量 为叫做,点,A,的,位置向量,，如图，,OA,即为一个位置向量,.,1,）平面内每一点都有对应的位置向量。,调用几何画板,x,y,O,M,N,(,x,y,),A,在上式中，,向量,OA,能表示成两个相互垂直的向量,i,、,j,分别乘以实数,x,、,y,后组成的和式,，该和式称为,i,、,j,的,线性组合,，这种向量的表示方法叫做,向量的正交分解,。,3,，向量的坐标表示：,x,y,O,A,在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯一一个与它相等的位置向量,.,即,平面内任一向量都可以用基本单位来表示,.,(,x,y,),总结,:,有序实数对,(x,y),记作,:,任意向量,(,平移,),位置向量,(,唯一确定,),向量 的坐标,.,由此可得,相等的向量具有相同的坐标。,二、向量的坐标运算,(,有了向量的坐标表示之后,向量的运算就可以转化为其坐标的相应运算,),向量模的计算公式,:,上述法则实现了由向量的作图法运算,(,形,),转化为向量的坐标法运算,(,数,),化繁为简,.,例,1.,如图，写出向量 的坐标,.,结论：,任意向量坐标,=,终点坐标,-,起点坐标,x,y,O,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),即,如图，设,P,(,x,1,y,1,),、,Q,(,x,2,y,2,),是平面直角坐标系内的任意两点，如何用,P,、,Q,的坐标来表示向量,PQ,？,4,，,平面内任意两点间的向量的坐标：,x,y,O,A(2,1),B(-3,2),C(-1,3),D(x,y),第,八,章平面向量的坐标表示,8.1.1,向量的坐标表示及其运算,8.1.2,向量的坐标表示及其运算,观察平行量,它们的坐标有怎样的关系？,满足这一关系的两个向量必定平行吗？,必要性：,，由平行向量基本定理知：,存在唯一实数 ，使,，则,因此,证：当 时，充要条件显然成立，现考虑,的情形，,此时 不全为零，不妨设,平面向量平行条件的坐标表示,定理：,已知任意向量,的,充要条件,是,证：当 时，充要条件显然成立，现考虑,的情形，,此时 不全为零，不妨设,充分性：,则,令 ，则,，因此,证毕,平面向量平行条件的坐标表示,定理：,已知任意向量,的,充要条件,是,特别地，若,不平行于坐标轴,，,，,则上式可化为,两个向量平行的,充分条件,是,相应坐标成比例,.,即,平面向量平行条件的坐标表示,定理：,已知任意向量,的,充要条件,是,三、向量平行的充要条件的坐标表示,例,2.,是坐标原点，,，当 为何值时，三点共线？,分析,：三点共线的充要条件是,解：,化简得：,解得：,或,因此 时，三点共线,.,或,思考 取何值时，能够构成三角形？,四、定比分点定义及公式,图示,P,在线段,P,1,P,2,反向延长线上,P,在线段,P,1,P,2,延长线上,P,在线段,P,1,P,2,上,外分点,内分点,分点的位置,P P P,1,2,P P P,1,2,P P P,1,2,练习：,设线段的长为,5cm,，写出点,P,分有向线段,所成的比：,点,P,在 上，,1cm;,点,P,在 的延长线上，,10cm.,例：已知 的坐标分别为,求点,P,的坐标 。,2,已知,A,（,3,2,），,B,（,8,3,）,求线段,AB,的中点,G,坐标,求点,A,关于点,B,的对称点,H,的坐标,若,求点,E,的坐标,若点,C,分有向线段,AB,的比,2,，求点,C,的坐标,求点,D(0.5,，,y),分有向线段,AB,的比 及,y,值。,