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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三十讲数列求和,回归课本,1.,公式法,对于等差数列和等比数列,在求和时可直接套用它们的前,n,项和公式,:,等差数列前,n,项和公式,:Sn=na1+,等比数列前,n,项和公式,:,Sn=,另外,还有一些常见的求和公式,:,(1)1+2+3+n=,(2)1+3+5+(2n-1)=n2,(3)12+22+32+n2=,2.,倒序相加法,一个数列如果距首末两项等距离的两项和相等,那么求这个数列的前,n,项和可用倒序相加法,.,如等差数列前,n,项和公式的推导,.,3.,错位相减法,如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一个因子成公差为,d,的等差数列,第二个因子成公比为,q,的等比数列,可将此数列前,n,项的和乘以公比,q,然后错项相减从而求出,Sn.,4.,拆项分组法,把不能直接求和的数列分解成几个可以求和的数列,分别求和,.,5.,裂项相消法,把数列的每一项变为两数之差,以便大部分项能“正”,“,负”相消,只剩下有限的几项,.,裂项时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项,常用的裂项公式为,:,6.,并项转化法,有时候把两项并成一项考虑,也可以实现我们的转化目的,.,通常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况,.,考点陪练,答案,:A,2.,已知,an=(nN*),记数列,an,的前,n,项和为,Sn,则使,Sn0,的,n,的最小值为,(),A.10B.11,C.12D.13,答案,:B,3.,首项为,2,公比为,3,的等比数列,从第,n,项到第,N,项的和为,720,则,n,N,的值分别为,(),A.2,6B.2,7,C.3,6D.3,7,解析,:,由题意知,SN-Sn-1=720,代入得,解得,n=3,N=6,故选,C.,答案,:C,答案,:B,5.(2010,黄冈中学月考题,),化简,Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1,的结果是,(),A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2,C.2n-n-2D.2n+1-n-2,解析,:,将,Sn,两边同时乘以,2,可以得到,:2Sn=2n+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+2n,与,Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1,两边同时相减可得到,2Sn-Sn=-n+(2+22+23+2n-1)+2n=-n+2n,Sn=-n+2n-2+2n=2n+1-n-2.,故选,D.,答案,:D,类型一公式法求和,解题准备,:,如果数列是等差数列或等比数列等特殊数列时,直接应用求和公式求解,.,解,当,n,为奇数时,奇数项组成以,a1=1,为首项,公差为,12,的等差数列,偶数项组成以,a2=4,为首项,公比为,4,的等比数列,.,类型二分组转化法求和,解题准备,:1.,有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,就能转化为等差数列或等比数列,.,从而可以利用等差、等比数列的求和公式解决,.,这种求和方法叫分组转化法,.,2.,此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式,.,反思感悟,有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,.,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差,等比或常见的数列,即能分别求和,然后再合并,.,类型三裂项相消法求和,解题准备,:1.,裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,其实质是将数列中的某些项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,.,2.,数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这是裂项相消法使用的前提,一般地,形如,(,其中,an,是等差数列,),的数列可尝试采用此法,.,常用的裂项技巧有,:,分析,准确写出,an,的表达式,然后用裂项相消法,.,类型四错位相减法求和,解题准备,:,错位相减法是推导等比数列的前,n,项和公式时所用的方法,也是数列求和中经常用到的一种方法,.,【,典例,4】,已知数列,an,是等差数列,且,a1=2,a1+a2+a3=12.,(1),求数列,an,的通项公式,;,(2),令,bn=anxn(xR).,求数列,bn,的前,n,项和公式,.,分析,用错位相减法解,(2).,解,(1),设数列,an,公差为,d,则,a1+a2+a3=3a1+3d=12,a1=2,d=2,an=2n.,(2),令,Sn=b1+b2+bn,则由,bn=anxn=2nxn,得,Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn.,xSn=2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1.,当,x1,时,减去,得,(1-x)Sn=2(x+x2+xn)-2nxn+1=,-2nxn+1,Sn=,错源一思维定势,数错项数,剖析,本题的错误原因在于乘公比错位相减后,中间是,n-1,项求和,错当成了,n,项和,对相减后的结构认识不清楚或认识模糊,.,错源二忽略基本“特征”,【,典例,2】,已知两个等差数列,an,和,bn,的前,n,项和为,Sn,和,Tn,且对一切正整数,n,都有 试求 的值,.,错解,设,Sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k,则,a9=S9-S8=(59+3)k-(58+3)k=5k.,b9=T9-T8=(29+7)k-(28+7)k=2k.,因此,剖析,错解忽略了等差数列前,n,项和公式的基本“特征”,.,其实,等差数列的前,n,项和是关于,n,的二次函数,且常数项为零,.,正解,设,Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk,那么,a9=S9-S8=(59+3)9k-(58+3)8k=88k,b9=T9-T8=(29+7)9k-(28+7)8k=41k,因此,技法一分类讨论思想,【,典例,1】,定义“等和数列”,:,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,.,已知数列,an,是等和数列,且,a1=2,公和为,5,那么,a18,的值为,_;,这个数列的前,n,项和,Sn,的计算公式为,_.,解题切入点,本题重点考查同学们在新情境下的独立分析问题和解决问题的能力,.,解析,由定义知,a1+a2=a2+a3=a2k-1+a2k=a2k+a2k+1=5.,且,a1=2,所以,a1=a3=a2k+1=2,a2=a4=a2k=3.,所以,a18=3.,技法二函数思想,【,典例,2】,若数列,an,的前,n,项和,Sn=n2-10n(n=1,2,3,),则此数列的通项公式为,_;,数列,nan,中数值最小的项是第,_,项,.,解析,当,n2,时,an=Sn-Sn-1,=n2-10n-(n-1)2+10(n-1),=2n-11.,当,n=1,时,S1=a1=-9,也满足式,.,所以,an=2n-11.,nan=(2n-11)n=2n2-11n.,所以,n=,时,nan,最小,.,由于,nN*,所以,n=3,时,使得,nan,最小,.,故通项公式为,an=2n-11,数列,nan,中数值最小的项是第,3,项,.,答案,an=2n-113,方法与技巧,本题第一问注意,an=Sn-Sn-1,满足,n2,时,能否合写成一个通项公式,需要验证,n=1,的情况,.,而第二问是利用二次函数的思想,由于二次函数开口向上,最小值在对称轴上取得,但是由于,nN+,所以最小值在距离对称轴较近的整数,n,上取得,.,体现了数列与函数的密切关系,.,
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