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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.3 二次曲线的切线,定义 5.3.1,如果直线与二次曲线相交于相互重合,的两个点，,那么这条直线就叫做二次曲线的切线，,这个重合的交点叫做切点.,规定：如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线。直线上的每一点都可以,看作切点.,5.3 二次曲线的切线定义 5.3.1如果直,1,现在我们来求经过二次曲线,(1),的直线总可写成,切线方程,上的点,的切线方程.,因为通过,(2),那么根据5.1 的讨论,知道直线(2)与二次曲线(1)的,交点的参数满足,现在我们来求经过二次曲线(1)的直线总可写成切线方程上的点的,2,容易知道直线成为二次曲线的切线的条件，,因此,当 时,因为 在(1)上，,所以 ；,(3),如果 与 不全为零，那么得：,容易知道直线成为二次曲线的切线的条件，因此当,3,(3),当 时，直线(2)成为二次曲线(1),的切线的条件除了 外，唯一的条件仍,然是(3).,因此过 的切线方程为,(3)当,4,或写成,或,解法一,因为,且,例 1,求二次曲线,的点 的切线方程.,或写成或解法一因为且例 1 求二次曲,5,即,奇点,如果,那么(3)变为恒等式，,(3),从而切线不确定，,切线的方向 不能唯一地被确定,所以 是二次曲线上的正常点，因此得在点 的切线方程为,即奇点 如果那么(3)变为恒等式，(3)从而切线不确定，切线,6,我们就把这样的直线也看成是二次曲线的切线.,这时通过,的任意直线都,和二次曲线相交于,相互重合的两点，,奇点:,定义 5.3.2,二次曲线上满足条件,的点 叫做二次,曲线的奇异点，简称奇点；,二次曲线的非奇异点叫,做二次曲线的正常点.,我们就把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这时通过的任意直线,7,定理 5.3.1,每一条直线都是二次曲线的切线.,(3),正常点才能用,如果 是二次曲线的正常点，,如果 是二次曲线的奇异点，,那么通过 的切线方程是(3)，,是它的切点.,那么通过 的切线不确定，,或者说通过点 的,定理 5.3.1 每一条直线都是二次曲线的切线.(3)正常点,8,(5.3-4),对比,公式(5.3-4)便于记忆，记忆的方法是在原方程(1),中，把,写成,就得出(5.3-4).,推论,如果 是二次曲线的正常点，,那么通过 的切线方程是,然后每项中的一个 或 用 或 代入后，写成,(5.3-4)对比 公式(5.3-4)便于记忆,9,证,把(5.3-3)改写为,再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又可写为,(5.3-5),(5.3-3),即,从而得(5.3-4).,证把(5.3-3)改写为再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又,10,所以点 不在曲线上,解法一,所以不能直接应用公式(5.3-3)或(5.3-4).,因为,利用切线定义来做.,例 2,求二次曲线 通过点,的切线方程.,因为过点 的直线可以写成,其中 为参数，为直线的方向数.又因为,所以点 不在曲线上,解法一所以不能直接应用公,11,所以根据直线与二次曲线的相切条件(5.3-1)得,化简得,从而有,即,再由过点 的直线方程得,所以根据直线与二次曲线的相切条件(5.3-1)得化简得从而有,12,消去参数得,这两直线的方向分别为1:2与1:(-1)，显然它们都不,是已知二次曲线的渐近方向，所以这两直线就是,所求的过点 的切线.,或,或,设过 的切线与二次曲线相切于,解法二,那么切线方程为,消去参数得这两直线的方向分别为1:2与1:(-1)，显然它们,13,即,(3),因为它通过 ,所以 满足方程,将 代,入化简得,(4),另一方面点 在曲线上，所以又有,(5),即(3)因为它通过 ,所以,14,联立解(4),(5)得切点坐标,与,将切点坐标代入(3)得所求的切线方程为,与,(4),(5),联立解(4),(5)得切点坐标与将切点坐标代入(3)得所求的,15,作业:第200页.,1.(1),(2).,作业:第200页.,16,
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