householder和givens变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,Householder,变换,O,+,O,则,记,即：该变换将向量 变成了以 为法向量的平面的对称向量 。,Householder,变换又称为反射变换或镜像变换，有明显的几何意义。在 中，给定一个向量,，令,表示,关于平面,（以 为法向量）,的反射变换所得像，如图所示，,定义 设 是一个单位向量，令,则称,H,是一个,Householder,矩阵或,Householder,变换。,性质,5.1.1,设,H,是一个,Householder,矩阵，则,（,1,）,H,是,Hermite,矩阵，；,（,2,）,H,是酉矩阵，；,（,3,）,H,是,对合,矩阵，；,（,4,）,H,是自逆矩阵,（,5,）,diag,(,I,H,),也是一个,Householder,矩阵,;,（,6,）,det H,=-1,。,其中 为实数。,定理,设 是一个单位向量，则对于任意的,当 时，取单位向量 使,存在,Householder,矩阵,H,，使得,证明 当,x=0,时，任取单位向量,则,则,所以,当 时，取,由于,推论,1,对于任意的 ，存在,Householder,矩阵,H,，使,其中 为实数。,推论,2,对于任意的 ，存在,Householder,矩阵,H,上述结论表明，可以利用,Householder,变换将任意向量,化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）,。,，其中,使得,得,例,2,用,Householder,变换将向量,化为与 平行的向量。,因此,解 由于,为了使,为实数，取,令,则,也可取 或,说明,2024/11/11,1、Givens矩阵和Givens变换,从上图中我们可以看出旋转变换并不改变向量的模，所以它是正交变换，从而T是正交矩阵，且,