数列的极限讲解课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第 二 章,2.2 函 数 的 极 限,2.3 无 穷 小 量,无 穷 大 量,2.1,数 列 的 极 限,第,二,章,极 限,连 续,2 .4 函 数 的 连 续 性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第 二 章 2.2 函 数 的 极,第 二 章,2.1.4 数 列 极 限 的 四 则 运 算,2.1.3 数 列 极 限 的 概 念,2.1,数列的极限,2.1.1 问 题 的 引 入,2.1.2 数 列 概 念,2.1.5 数 列 极 限 的 收 敛 准 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第 二 章 2.1.4 数 列 极 限 的,2.1.1 问题的引入,引例.,设有一半径为,r,的圆,如图所示,可得：,当,n,无限增大时,解：,分别表示圆内接正,n,边形的周长与面积,的变化特征如何？,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，,则与圆周合体而无所失矣。”,刘徽：,试问：,试求其周长,l,与面积,A,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1.1 问题的引入引例.设有一半径为 r 的,2.1.2 数 列 的 概 念,按自然数的,顺序,排列的,一串实数,:,称为（实）,数列,。,or,由函数的概念，数列,可视为自变量取自然数的,函数（即定义域为,N,的函数），,或,整序变量,。,还可理解为数轴上不断,运动着的点列,，,随着时刻的推移在数轴上依次取,各点。,从几何上看，,故数列也常被称为,整标函数,记作：,记作：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1.2 数 列 的 概 念按自然数的顺序,例如：,0,1,-1,0,1,-1,又如：,再如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如：01-1,例如：,0,再如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如：0再如：机动,的量在各个时刻所处的状态，这对于研究问题无疑是有益的，但,这还不够，,的变化趋势。,也就是说，当,n,无限增大时，,是如何变化的？,是否与某个常数,无限的接近,？,)如何度量两个数的接近程度？,）如何刻画无限接近？,对于用数列所描述的实际问题而言，,我们怎样才能找到这个常数？,是一个理论问题。,这就提出了以下急待解决的问题：,假若如此，这个常数该是多少？,后者是一个方法问题，而前者则,其取值反映了所关心,我们不仅关心这个量在固定时刻的取值，更关注重它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的量在各个时刻所处的状态，这对于研究问题无疑是有益的，但这还,如对于数列：,由于,反映了,与“,1,”的接近程度，,与,1,就 “,越接近,”，,显然，随着,n,“,越大,”，,要使,故只要,就能保证从 100 项之后的各项,与数 1 的距离均小于,也就是说：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,只须,即可，,例如：,如对于数列：由于反映了与“1”的接近程度，与 1 就,要使,只须,即可，,也就是说：,完全类似地，,一般地,，,只须取,当,时，,即：,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于任意地,要使,要使只须即可，也就是说：完全类似地，一般地，只须取当时，即：,2.1.3 数列极限的定义,定义,设,是一数列，,对于,任意给定,的正数,总,存在,着自然数,N,，,当,n,N,时,都有：,或,则称数列,是,收敛,（于,a,）,的,；,常数,a,称为数列,(当,n,趋于无穷时)的,极限,。,或,或,如果数列,不收敛,，就称之是,发散的,。,记作：,若,常数,a,满足：,的,一切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1.3 数列极限的定义定义设是一数列，对于任意给定的正数,例如,趋势不定,收 敛,发 散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页,例1.,设,验证数列,的极限为,C,。,证:,对任一自然数,，,都有：,因此,取,则当,时,就有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,C,为常数，,例1.设验证数列的极限为 C。证:对任,例2.,设,验证：,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N,与,有关,但不唯一,不一定取最小的,N,.,说明:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设验证：证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取,例3.,设,验证等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当,n,N,时,就有,故,的极限为,0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.设验证等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,例4.,验证：,证:,欲使,只要,即,即,因此,取,则当,n,N,时,就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,例4.验证：证:欲使只要即即因此,取则当 n,注 明：,N,与,的,关联性,以及,N,选取的,多样性,；,几何解释:,改变数列,有限项之值，其敛散性不受影响，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取值的,任意性,与相对(寻求,N,时)的,确定性,；,若收敛，其极限值也不变；,但对于某个特定的,若,有,无限多项,，,x,是数列极限的一种逻辑法则，并非求极限的方法；,注 明：N 与 的关联性以及 N 选取的多样性；几何解,例5.,证明数列,是发散的。,证:,用反证法,假设数列,收敛,则有唯一极限,a,存在。,取,则存在,N,但因,交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当,n,N,时,有,因此该数列发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.证明数列是发散的。证:用反证法假设数列收敛,2.1.4 收敛数列的性质,定理,1,（有界与唯一性）,收敛数列必是有界的且极限是唯一的。,证:,先证有界性：,取,从而有,取,则有,有,当,时,则,收敛于,a，,即,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1.4 收敛数列的性质定理 1（有界与唯一性）收敛数列必,再证唯一性：,用反证法：,及,且,取,因,故存在,N,1,同理,因,故存在,N,2,使当,n,N,2,时 ,有,使当,n,N,1,时,有,假设,则当,n,N,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不妨设,且,这与,矛盾。,再证唯一性：用反证法：及且取因故存在 N1 ,同理,定理 2,（,保序性,）,证:,设,即：,）用反证法，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,均收敛，,）若,）若,）,取,由极限的唯一性证明知，,存在着,N,，当,n,N,时，有,若,即,由）得,这与题给条件矛盾。,定理 2（保序性）证:设即：）用反证法，机动,说明:,在）中用的是严格的不等号；,在）中用的是非严格的,严格的不等号，如：,显然：,推论 1,设,收敛，,a,b,均为常数，且,不等号，,）若,）若,只要在保序性定理中，分别取,再分别与,作比较即得验证。,即使把）条件改为严格的不等号，其结论也未必是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:在）中用的是严格的不等号；在）中用的是非严格的严格,推论 2,（,保号性,）,设,显然，只须在推论 1 中，分别令,a,b,等于 0 即可。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,）若,）若,与,c,同号;,推论 2（保号性）设显然，只须在推论 1 中，分别令 a,定理,（四则运算法则）,设,均收敛，则,）,）,）,推论,设,为常数，且,收敛，,则,）,）,）,）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理（四则运算法则）设均收敛，则）推论设为常数，且,2.1.5 数 列 极 限 的 收 敛 准 则,证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.夹逼准则,(准则1),(P30定理4),设数列满足：,2.1.5 数 列 极 限 的 收 敛 准 则证:由,例6.,证明,证:,利用夹逼准则.,且,由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.证明证:利用夹逼准则.且由机动 目录 上,例7,.,计算,解：,1）当,a,=1 时，显然有极限为 1；,2）当,a,1 为一定值且,n,a,时，,由夹挤原理得：,综上讨论得：,有,3）当,时，有,由2）得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.计算解：1）当 a=1 时，显然有极限为 1；2,2.单调有界收敛准则,（准则,）,(P30定理5),(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设数列满足：,）,）,2.单调有界收敛准则（准则）(P30定理5)(,例8.,设,证明数列,收敛.,(P30例11),证:,利用不等式（,n,个正数的几何平均小于其算术平均），有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此可见数列,是单调增的；,n+,1 项相乘,n+,1 项相加,例8.设证明数列收敛.(P30例11)证:利,根据准则,可知数列,记此极限记为,e,e,为无理数,其值为：,即,收敛.,原题 目录 上页 下页 返回 结束,又,根据准则可知数列记此极限记为 e,e 为无理数,其,内容小结,1.数列极限的,“,N,”,定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,3.极限收敛准则:,夹逼准则;单调有界准则;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.,找一个趋于的子数列;,方法2.,找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的,作业,P30 3,(2),(3),4 ,6,P56 4,(1),(3),4,(3),提示,:,可用数学归纳法证,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,作业P30 3(2),(3),4 ,6,故极限存在，,备用题,1.,设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故极限存在，备用题 1.设,且求解：设则由递推公式有数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项相消”法,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,刘徽,(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“,用已知逼近未知,用近似逼近精确,”,的重要,极限思想.,的方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,刘徽(约225 295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.,柯西,(,1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主,