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单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,30.4,二次函数的应用,第三十章 二次函数,冀教版九下,第二课时 二次函数的最值问题,30.4 二次函数的应用第三十章 二次函数冀教版九下第二,1,学 习 目 标,1.,分析实际问题中变量之间的二次函数关系,.,2.,能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题,.,3.,能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题,.,学 习 目 标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系,2,知识链接,（,1,）自变量,x,的取值范围是,_.,有最,_,值，是,_.,任意实数,（,2,）当,0 x10,时,，函数,有最大值是,_,，最小值是,_.,（,3,）当,-3x0,时，函数有最大值是,_,，最小值,是,_.,小,1,145,5,5,1,你发现了什么？,自变量的取值范围影响函数的最值的选择，因此，在确定函数的最值时，应考虑自变量的取值范围,.,知识链接（1）自变量x的取值范围是_.有最_,3,创设情境，引入新课,（,1,）,符合要求的矩形有多少种？,无数种,3,2,1,4,小明：,小红：,数学课上，老师要求用,10cm,的铁丝围成一个矩形,.,创设情境，引入新课（1）符合要求的矩形有多少种？无数种321,4,创设情境，引入新课,（,2,）你认为怎样围成的,矩形面积最大？最大面积为多少？,2.5,2.5,（,3,）你会用二次函数的知识解释（,2),的结论吗,？,围成边长为,2.5cm,的正方形时，面积最大，为,6.25,平方厘米,.,创设情境，引入新课（2）你认为怎样围成的矩形面积最大？最大面,5,创设情境，引入新课,解：设矩形的一边长为,xcm,矩形的面积为,yc.,a=-10,抛物线开口向下,x=2.5,时，,y,有最大值为,6.25.,用二次函数解决实际问题中的最值问题,创设情境，引入新课解：设矩形的一边长为xcm,矩形的面积为y,6,典例精析,例,1.,如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为,30,米的篱笆围成,.,已知墙长,18,米，设苗圃园垂直于墙的一边长为,x,米，苗圃园的面积为,y,平方米,.,（,1,）苗圃园的最大面积是多少？,分析：,确定函数表达式,确定自变量的取值范围,典例精析例1.如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为3,7,典例精析,由题意得,解得，,6x15,a=-20,抛物线开口向下,7.5,在,x,的取值范围之内,当,x=7.5,时,y,有最大值,112.5.,答：苗圃园的最大面积是,112.5,平方米,.,典例精析由题意得解得，6x15a=-207.5在x的,8,典例精析,例,1.,如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为,30,米的篱笆围成,.,已知墙长,18,米，设苗圃园垂直于墙的一边长为,x,米，苗圃园的面积为,y,平方米,.,（,2,）若苗圃园的面积为,100,，请确定,x,的值,.,分析：,即当,y=100,时，求,x,的值,.,注意使,x,的值符合实际意义,.,典例精析例1.如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为3,9,典例精析,6x15,舍去,x=5.,答：苗圃园的面积为,100,平方米时，,x,的值是,10,米,.,当,y,的值确定下来时，二次函数问题可以转化为一元二次方程来解决,.,典例精析6x15舍去x=5.答：苗圃园的面积为100,10,典例精析,例,1.,如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为,30,米的篱笆围成,.,已知墙长,18,米，设苗圃园垂直于墙的一边长为,x,米，苗圃园的面积为,y,平方米,.,（,3,）若使苗圃园的面积,不小于,100,，请确定,x,的取值范围,.,思考：,用什么方法确定,x,的取值范围合适呢？,典例精析例1.如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为3,11,典例精析,5,10,100,观察图像得，当,5x10,时，,y,100.,6x15,6x10,时，苗圃园的面积不小于,100,平方米,.,利用解一元二次方程与观察二次函数图像相结合，解决二次不等式的问题,.,典例精析510100观察图像得，当5x10时，y100,12,典例精析,例,1.,如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为,30,米的篱笆围成,.,已知墙长,18,米，设苗圃园垂直于墙的一边长为,x,米，苗圃园的面积为,y,平方米,.,（,1,）苗圃园的最大面积是多少？,思考：,函数表达式变了吗？,自变量的取值范围变了吗？,变式一：,8,米,典例精析例1.如图，有一矩形苗圃园，一边靠墙，另三边用长为3,13,典例精析,由题意得,解得，,11x15,a=-20,抛物线开口向下,在对称轴的右侧，,y,随,x,的增大而减小,.,答：苗圃园的最大面积是,88,平方米,.,当,11x15,时,当,x=11,时，,y,最大,.,当抛物线只存在于对称轴的一侧时，根据函数的增减性确定最值,.,典例精析由题意得解得，11x15a=-20在对称轴的,14,巩固总结,二次函数解决几何面积最值问题的方法,1.,求出函数解析式和自变量的取值范围；,2.,配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.,检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内,.,巩固总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式,15,巩固练习,用总长为,24m,的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架,.,其横档和竖档分别与,AD,AB,平行，设,AB=xm.,当,x,为多少时，矩形框架,ABCD,的面积,S,最大？最大面积是多少平方米？,D,C,B,A,由题意得,解得，,0 x6,当,x=3,时，,y,有最大值,12.,巩固练习用总长为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的,16,典例精析,例,2,一工艺师生产的某种产品按质量分为,9,个档次,.,第,1,档次（最低档次）的产品一天能生产,80,件，每件可获利润,12,元,.,产品每提高一个档次，每件产品的利润增加,2,元，但一天产量减少,4,件,.,如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？,12+2,（,x-1),总利润,=,每件利润产品数量,每件利润：,数量关系：,产品数量：,80-4,（,x-1),分析：,典例精析 例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.,17,典例精析,w,=12+2(,x,1,)80,4,(,x,1,),=(10+2,x,)(84,4,x,),=8,x,2,+128,x,+840,=8(,x,8),2,+1352.,（,1x9,，且,x,为整数）,解：设生产,x,档次的产品时，每天所获得的利润为,w,元，则,当,x=,8,时，,w,有最大值，且,w,最大,=1352.,答：该工艺师生产第,8,档次产品，可使利润最大，,最大利润为,1352,元,.,a=-80,抛物线开口向下,典例精析w=12+2(x1)804(x1)解：,18,典例精析,例,2(,变式）,一工艺师生产的某种产品按质量分为,9,个档次,.,第,1,档次（最低档次）的产品一天能生产,80,件，每件可获利润,12,元,.,产品每提高一个档次，每件产品的利润增加,2,元，但一天产量减少,4,件,.,如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？,12+,（,x-1),总利润,=,每件利润产品数量,每件利润：,数量关系：,产品数量：,80-3,（,x-1),分析：,1,元,3,件,典例精析 例2(变式）一工艺师生产的某种产品按质量分为9,19,典例精析,w,=12+(,x,1,)80,3,(,x,1,),=(11+,x,)(83,3,x,),=-3,x,2,+50,x,+913,（,1x9,，且,x,为整数）,解：设生产,x,档次的产品时，每天所获得的利润为,w,元，则,当,x=,8,时，,w,有最大值，且,w,最大,=1352.,a=-80 ,抛物线开口向下,典例精析w=12+(x1)803(x1)解：设,20,巩固总结,求解最大利润问题的一般步骤,（,1,）建立利润与价格之间的函数关系式：,运用“总利润,=,总售价,-,总成本”或“总利润,=,单件利润,销售量”,（,2,）结合实际意义，确定自变量的取值范围；,（,3,）在自变量的取值范围内确定最大利润：,可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出,.,巩固总结求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的,21,巩固练习,某商品现在的售价为每件,60,元，每星期可卖出,300,件，市场调查反映：每涨价,1,元，每星期少卖出,10,件；每降价,1,元，每星期可多卖出,18,件，已知商品的进价为每件,40,元，如何定价才能使利润最大？,每件涨价,x,元，则每星期售出商品的利润,y,元，填空：,单件利润（元）,销售量（件）,每星期利润（元）,正常销售,涨价销售,20,300,20+,x,300-10,x,y,=(20+,x,)(300-10,x,),建立函数关系式：,y,=(20+,x,)(300-10,x,),即：,y,=-10,x,2,+100,x,+6000.,6000,巩固练习 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件,22,巩固练习,自变量,x,的取值范围如何确定？,营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故,300-10,x,0,，且,x,0,因此自变量的取值范围是,0,x,30.,涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？,y,=-10,x,2,+100,x,+6000,，,当,时,y,=-105,2,+1005+6000=6250.,即定价,65,元时，最大利润是,6250,元,.,巩固练习 自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，,23,课堂小测,1.,如图,1,，在,ABC,中，,B,=90,AB,=12cm,BC,=24cm,动点,P,从点,A,开始沿,AB,向,B,以,2,cm/s,的速度移动（不与点,B,重合），动点,Q,从点,B,开始,BC,以,4cm/s,的速度移动（不与点,C,重合）,.,如果,P,、,Q,分别从,A,、,B,同时出发，那么经过,秒，四边形,APQC,的面积最小,.,A,B,C,P,Q,图,1,3,课堂小测1.如图1，在ABC中，B=90,AB=1,24,课堂小测,2,.某种商品每件的进价为,20,元，调查表明：在某段时间内若以每件,x,元（,20,x,30,),出售，可卖出,（,300,20,x,）,件，使利润最大，则每件售价应定为,元,.,25,课堂小测2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间,25,课堂小测,3.,某种商品每天的销售利润,y,（元）与销售单价,x,(,元）之间满足关系：,y=ax,2,+bx,-75,.,其图象如图,.,（,1,）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？,（,2,）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于,16,元？,x,y,5,16,O,7,解：,(1),由题中条件可求,y,=-,x,2,+20,x,-75,-10,对称轴,x,=10,当,x,=10,时，,y,值最大，最大值为,25.,即销售单价定为,10,元时，销售利润最大，为,25,元；,(2),由对称性知,y,=16,时，,x,=7,和,13.,故销售单价在,7,x,13,时，利润不低于,16,元,.,课堂小测3.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元,26,课堂小结,几何面积最值问题,一个关键,一个注意,建立函数关系式,常见几何图形的面积公式,依 据,最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定,课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几,27,课堂小结,最大利润问题,建立函数关系式,总利润,=,单件利润,销售量或总利润,=,总售价,-,总成本,.,确定自变量取值范围,涨价,:,要保证销售量,0,；,降件：要保证单件利润,0,.,确定最大利润,
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