异面直线所成的角的求法.ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.2,空间中直线与直线,之间的位置关系,习题课,2.1.2,1,问题一：异面直线的判定,问题一：异面直线的判定,2,例1.已知,m,、,n,为异面直线，,m,平面,，,n,平面,，,l,，则,l,(),A与,m,、,n,都相交,B与,m,、,n,中至少一条相交,C与,m,、,n,都不相交,D与,m,、,n,中的一条直线相交,例1.已知m、n为异面直线，m平面，n平面，,3,例2.已知点,P,、,Q,、,R,、,S,分别是正方体的四条棱的中点，则直线,PQ,与,RS,是异面直线的一个图是(),例2.已知点P、Q、R、S分别是正方体的四条棱的中点，则直线,4,例,3,如图，已知,a,，,b,，,c,，,b,a,A,，,c,a,，求证：,b,与,c,是异面直线,例3如图，已知a，b，c，baA，c,5,证明,假设,b,与,c,不是异面直线，则,b,c,或,b,与,c,相交,(1)若,b,c,，,a,c,，,a,b,与,a,b,A,矛盾,(2)若,b,与,c,相交，设,b,c,B,，,a,c,，,B,a,，即,A,、,B,两点不重合，这样直线,b,上有两点,A,、,B,，,b,，又,b,，,b,是,与,的公共直线，又,a,，,b,与,a,重合，这与,b,a,A,矛盾，,b,与,c,是异面直线,证明假设b与c不是异面直线，则bc或b与c相交,6,异面直线的证明:,(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛盾，故两直线异面,(2)过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(异面直线判定定理),异面直线的证明:(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛盾，,7,问题二：求异面直线所成的角,问题二：求异面直线所成的角,8,预备知识,角的知识,正弦定理a=2RsinA,a=2RsinA,S,ABC,=,bc sinA,余弦定理,A,B,C,b,c,a,cosA=,A,B,C,b,c,a,预备知识角的知识正弦定理a=2RsinA a=2RsinAS,9,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是,化归与转化,，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。,2.方法：,3.步骤：,求异面直线所成的角：,作,（,找,）,证,点,算,1.数学思想：,平移 构造可解三角形,二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学,10,例,4,.在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,棱长为4,(1)求直线BA,1,和CC,1,所成的角的大小,(2)若M，N分别为棱A,1,B,1,和B,1,B的中点，,求直线AM与CN所成的角的余弦值.,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,M,N,P,Q,BQ=1,BN=2,QN=,QC=,NC=,CosQNC=,例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4A1B1,11,例,5、,在正方体,ABCD-ABCD,中，棱长为,a,，,E,、,F,分别是棱,AB,，,BC,的中点，求：,异面直线,AD,与,EF,所成角的大小；,异面直线,BC,与,EF,所成角的大小；,异面直线,BD,与,EF,所成角的,大小.,例 5、在正方体ABCD-ABCD中，棱长为a，,12,异面直线,BC,与,EF,所成角的大小；,异面直线 BC与 EF所成角的大小；,13,O,G,AC AC EF,OG BD,BD 与EF所成的角,即为AC与OG所成的角,即为,AOG或其补角,.,平移法,补形法,OGAC AC EF,BD 与EF所成的角即为,14,例6,空间四边形SABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA，,E、F分别是SA、BC中点，则异面直线EF与SC所,成的角,90,0,例6900,15,S是正ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且,ASB=BSC=CSA=90，M，N分别是AB,和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角。,A,S,B,C,M,N,P,M,A,B,C,P,N,P,B,a,a,a,例7,.,S是正ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且ASBCMN,16,三,例8,.,三例8.,17,异面直线所成的角的求法,18,异面直线所成的角的求法,19,例9,如图，在正三角形,ABC,中，,D,、,E,、,F,分别为各边的中点，,G,、,H,、,I,、,J,分别为,AF,、,AD,、,BE,、,DE,的中点，将,ABC,沿,DE,、,EF,、,DF,折成三棱锥以后，,GH,与,IJ,所成角的度数为_,例9如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，,20,解析,折起后，空间图形如图,A,、,B,、,C,三点重合为一点,A,，在,BDE,中，,IJ,BD,，,在,ADF,中，,GH,DF,，,折起后，,IJ,A,D,，,直线,DF,与,A,D,所成的角就是,HG,与,IJ,所成的角，在正,A,DF,中，,A,DF,60.,解析折起后，空间图形如图,21,例、10,由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体如图，正四面体,ABCD,中，,E,、,F,分别是棱,BC,、,AD,的中点，,CF,与,DE,是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线,CF,、,DE,的平行线，找出异面直线,CF,与,DE,所成的角,例、10由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面,22,解析,思路1：选取平面,ACD,，该平面有以下两个特点：该平面包含直线,CF,，该平面与,DE,相交于点,D,，伸展平面,ACD,，在该平面中，过点,D,作,DM,CF,交,AC,的延长线于,M,，连结,EM,.可以看出：,DE,与,DM,所成的角，即为异面直线,DE,与,CF,所成的角如图1.,解析思路1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：该,23,思路2：选取平面,BCF,，该平面有以下两个特点：该平面包含直线,CF,，该平面与,DE,相交于点,E,.在平面,BCF,中，过点,E,作,CF,的平行线交,BF,于点,N,，连结,ND,，可以看出：,EN,与,ED,所成的角，即为异面直线,FC,与,ED,所成的角如图2.,思路3：选取平面,ADE,，该平面有如下两个特点：该平面包含直线,DE,，该平面与,CF,相交于点,F,.在平面,ADE,中，过点,F,作,FG,DE,，与,AE,相交于点,G,，连结,CG,，可以看出：,FG,与,FC,所成的角，即为异面直线,CF,与,DE,所成的角如图3.,思路2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：该平面包含直,24,异面直线所成的角的求法,25,思路4：选取平面,BCD,，该平面有如下特点：该平面包含直线,DE,，该平面与,CF,相交于点,C,，伸展平面,BCD,，在该平面内过点,C,作,CK,DE,与,BD,的延长线交于点,K,，且,DK,BD,，连结,FK,，则,CF,与,CK,所成的角，即为异面直线,CF,与,DE,所成的角如图4.,思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点：该平面包含直线D,26,总结评述：,(1)上面四个思路的共同点是：由两条异面直线中的一条与另一条上一个点确定一个平面，在该平面内过该点作该直线的平行线，从而找出两条异面直线所成的角，这是立体几何,“,化异为共,”“,降维,”,的基本思想,异面直线所成的角的求法,27,(2)求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置一般提倡像思路2、思路3那样作角，因为此角在几何体内部，易求,(2)求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角,28,(3)找出异面直线所成的角后求角的大小一般要归到一个三角形中，通过解三角形求出角的大小，如本题思路1中可归结为解,DEM,.思路2中可归结为解,DEN,等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我们学过解斜三角形后，即可计算,(4)实际问题中，若含有,“,中点,”“,比例点,”,常利用中位线，比例线段进行平移,(3)找出异面直线所成的角后求角的大小一般要归到一个三角形,29,10,A,为正三角形,BCD,所在平面外一点，且,AB=AC=AD=BC=a,，,E,、,F,分别是棱,AD,、,BC,的中点，连结,AF,、,CE,，如图所示，求异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值。,A,B,C,D,E,F,G,解：,连结DF，取DF的中点G，连结EG，,CG，又E是AD的中点，故EG/AF，,所以,GEC（或其补角）是异面直线,AF、CE所成的角。,异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值是,10A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=,30,11,A,为正三角形,BCD,所在平面外一点，且,AB=AC=AD=BC=a,，,E,、,F,分别是棱,AD,、,BC,的中点，连结,AF,、,CE,，如图所示，求异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值。,A,B,C,D,E,F,P,另解,:延长,DC,至,P,使,DC=CP,，,E,为,AD,中点，,AP/EC,。,故,PAF(,或其补角,),为异面直,线,AF,、,CE,所成的角。,异面直线,AF,、,CE,所成角的余弦值是,11A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=,31,练习1：如图，P为,ABC所在平面外一点，PC,AB，PC=AB=2，E,、,F,分别为,PA,和,BC,的中点。,（1）求证：EF与PC为异面直线；,（2）求EF与PC所成的角；,（3）求线段EF的长。,A,B,C,P,E,F,假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面由题意可知,其平面为PBC,这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾,练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=,32,P,A,B,C,M,N,12,、空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？,E,PABCMN12、空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，,33,A,D,C,B,A,1,D,1,C,1,B,1,变题,:,已知正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为a.,O为底面中心，F为DD,1,中点E在A,1,B,1,上,求AF与OE所成的角,O,E,F,N,ADCBA1D1C1B1变题:已知正方体ABCD-A1B1C,34,A,D,C,B,A,1,D,1,C,1,B,1,2、若M为A,1,B,1,的中点，N为BB,1,的中点，求异面直线AM与CN所成的角；,N,M,F,E,ADCBA1D1C1B12、若M为A1B1的中点，N为BB1,35,例,1,4、,如图，在三棱锥DABC中，DA平面ABC，ACB=90，ABD=30，AC=BC，求异面直线AB 与CD所成的角的余弦值。,A,B,C,D,例14、如图，在三棱锥DABC中，DA平面ABC，,36,四面体ABCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中点，,（1）求异面直线,CF,和,BD,所成的角的余弦值。,（2）求,CF,与,DE,所成的角。,思考题,A,B,C,D,E,F,P,Q,四面体ABCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中,37,异面直线所成的角的求法:,典例剖析,例1,：如图正方体AC,1，,求异面直线AB,1,和CC,1,所成角的大小,求异面直线AB,1,和A,1,D所成角的大小,D,1,D,1,C,B,1,A,1,A,D,D,1,B,C,1,分析 1、做异面直线的平行线,2、说明哪个角就