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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,线性控制系统的,能控性与能观测性,能控性定义,能控性,能观测性及其判据,离散系统的能控性和能观测性,主要内容,能控性和能观测性的根本概念：,20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与形状空间描画相对应。,能控性：反映了控制输入对系统形状的制约才干。,输入可以控制形状控制问题,能观测性：反映了输出对系统形状的判别才干。,形状能否由输出反映估计问题,3.1 能控性定义,指外输入u(t)对系统形状变量x(t)和输出变量y(t)的支配才干，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作恣意转移的问题。,有些形状分量能受输入u(t)的控制，有些那么能够不受u(t)的控制。,受u(t)控制的形状称为能控形状，不受u(t)控制的形状称不能控形状。,一、例子,例1：系统的构造图如下,显然，只能控制 而不能影响 ，我们称形状变量 是可控的，而 是不可控的。只需系统中有一个形状变量是不可控的，那么该系统是形状不可控的。,+,L,例2:取 和 作为形状变量,u输入,y=-输出.,-,u,(1)当,形状可控,(2)当,u只能控制，,形状不可控,二、能控性定义,假设存在一个分段延续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始形状 转移到任一终端形状 ，那么称此形状是能控的。假设系统的一切形状都是能控的，那么称系统是形状完全能控的。,几点阐明：根据初始形状和终端形状的不同位置，可以分为：,1、系统的形状能控性：常用,初始形状为形状空间恣意非零有限点；终端形状为形状空间原点，即零态。,假设存在一个分段延续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始形状 转移到零态 ，那么称系统是形状能控的。,2、系统的形状能达性：,初始形状为形状空间原点，即零态；终端形状为形状空间恣意非零有限点。,假设存在一个分段延续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统从零态 转移到恣意非零形状 ，那么称系统是形状能达的。,3.2 能控性判据,约当规范型判据,秩判据,1、具有约当规范型的系统,1系统特征根为单根,形状方程为：，那么系统形状完全能控的充要条件为：,中没有恣意一行的元素全为零。,一、约当规范型判据,2系统特征根有重根,形状方程为：，那么系统形状完全能控的充要条件为：,阵中，对应于每一个约当块的最后一行,元素不全为零。,2、具有普通方式的系统,系统的线性变换不改动系统的能控性。,1设线性系统 具有两两相异的特征值 那么其形状完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇特变换后的对角线规范型：,中，不包含元素全为0的行。,1,例：调查以下系统的能控性：,形状完全能控,3,形状完全能控,形状不完全能控,X2 形状不能控,2,中，阵中与每个约当小块 最后一行所对应的元素不全为零。,2：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，那么其形状完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇特变换后的约当规范型：,推论1：假设某个特征值对应几个约当块，那么对于MI系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的B中的行向量能否是行线性无关，是那么形状能控，否那么形状不能控。,假设 行线性无关，那么形状能控,含义：,对于：,形状完全能控,形状完全能控,例：调查如下系统的形状能控性：,推论2：假设某个特征值对应几个约当块，那么对于SI系统，系统形状必不能控。,形状完全能控,形状不完全能控,形状不完全能控,X2 形状不能控,二、秩判据,对于线性延续定常系统：形状完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,满秩,即：,证明：,证明目的：,对系统的恣意的初始形状 ，能否找到输入u(t)，使之在 的有限时间内转移到零 。那么系统形状能控。,知：线性定常非齐次形状方程的解为：,2,由1式得：,将 代入上式：,1,由凯利哈密顿定理 有：,3,4,将3式代入2式得：,5,令：,6,将5式代入4式得：,由以上可以看出式6中各参数维数如下：,阐明：维数较大时，留意运用矩阵秩的性质：,式6是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：,由于x(t0)恣意，所以，必需有：,证毕,例 判别如下系统的能控性,解：,1构造能控性判别矩阵：,故系统的形状完全可控,2求能控性判别矩阵的秩：,指由系统的输出y(t)识别形状变量x(t)的才干，它回答了形状变量能否由输出反映出来。,3.3 能观测性及其判据,有些形状可以经过输出y(t)确定下来，有些形状那么不能,能经过y(t)确定下来的形状称为能观形状，不能经过y(t)确定下来的形状称为不能观形状。,1、举例,系统构造图如下,显然输出 中只需 ，而无 ，所以从 中不能确定 ，只能确定 。我们称 是可观测的，是不可观测的。,一、能观测性的定义,+,L,例2:取 和 作为形状变量,u输入,y=-输出.,-,u,(1)当,形状可观测,(2)当,u只能控制，,形状不可观测,2、能观测性定义,假设对恣意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 ，使得根据 期间的输出 能独一地确定系统在初始时辰的形状 ，那么称形状 是能观测的。假设系统的每一个形状都是能观测的，那么称系统是形状能观测的。,的能观测性等价于 的能控性。,1、具有约当规范型的系统,互为对偶关系的系统之间的性质,只需系统中有一个形状变量是不可控的，那么该系统是形状不可控的。,假设系统的一切形状都是能控的，那么称系统是形状完全能控的。,构造能观测性判别矩阵，并判别其秩：,对系统的恣意的初始形状 ，能否找到输入u(t)，使之在 的有限时间内转移到零 。,中，不包含元素全为0的列。,能控性：反映了控制输入对系统形状的制约才干。,由于x(t0)恣意，所以，必需有：,几点阐明：根据初始形状和终端形状的不同位置，可以分为：,对于n阶线性定常离散系统：,4 离散系统的能控性与能观测性,将3式代入2式得：,假设存在一个分段延续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始形状 转移到零态 ，那么称系统是形状能控的。,3.3 能观测性判据,约当规范型判据,秩判据,二、能观测性判据：1约当规范型判据 2.秩判据,前提条件：线性非奇特变换不改动系统的能观测性,1、约当规范型判据,1线性系统 具有两两相异的特征值,那么其形状完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇特变换后的对角线规范型：,中，不包含元素全为0的列。,例：调查如下系统的能观测性：,中，阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。,2：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，那么其形状完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇特变换后的约当规范型：,推论1：假设某个特征值对应几个约当块，那么对于MO系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量能否是列线性无关的，是那么形状能观测，否那么形状不能观测。,推论2：假设某个特征值对应几个约当块，那么对于SO系统，系统形状必不能观测。,例如：,列线性无关，那么形状能观测,例：调查如下系统,的能观测性：,2、秩判据,对于线性延续定常系统：形状完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例 判别如下系统的能观测性,解：,1构造能观测性判别矩阵：,故此系统不是形状完全能观测的,例 判别如下系统的能观测性：,故此系统是形状完全能观测的,解：,构造能观测性判别矩阵，并判别其秩：,1、离散系统的能控性定义,假设存在控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(ln)能将某个初始形状x(0)=x0在第l步上到达零态，即x(l)0，那么称此形状是完全能控的。假设系统的一切形状都是能控的，那么称系统是形状能控的。,对于n阶线性定常离散系统：,一、离散系统的能控性,3.4 离散系统的能控性与能观测性,满秩,即：,线性定常离散系统形状完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：,2、离散系统的能控性判据,故系统形状完全能控。,解：,首先构造能控判别阵：,所以能控性判别阵为：,求能控性判别阵的秩：,例：系统的形状方程如下，试断定系统的形状能控性。,假设根据有限个采样周期内丈量的y(0)，y(1)，y(l)，可以独一地确定出系统的恣意初始形状x0，那么称x0为能观测形状。假设系统的一切形状都是能观测的，那么称系统是形状能观测的。,二、离散系统的能观测性,对于n阶线性定常离散系统：,1、离散系统的能观测性定义,2、离散系统的能观测性判别,对于线性离散定常系统，其形状完全能观测的充要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,例：设线性定常离散系统方程如下，试判别其能观测性,解：,系统形状,不完全能观测,互为对偶关系的系统之间的性质,1互为对偶的系统，其传送函数阵是互为转置的。,2互为对偶的系统，其特征方程是一样的。,假设 能控，那么能控性矩阵 满秩。即,设 和 是互为对偶的两个系统，那么 的能控性等价于 的能观测性；的能观测性等价于 的能控性。,二、对偶原理,证明：,的能观测性矩阵为：,所以 能观测。,*：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。,反之亦然。,
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