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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,偏微分方程,常微分方程组,分离变量,本征值问题,广义傅立叶级数,勒让德多项式,贝塞耳函数,（,特殊函数,）,特殊函数,勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；,贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、,超几何，汇合超几何等函数。,10.1,轴对称球函数,第十章,球函数,一、勒让德多项式,有限,设最后一个不为零点系数有,1.,代数表示,则对,适当乘本征函,数以常数使得,勒让德多项式：,：小于、等于,l,的最大整数。,总有,x,。,唯一不含,x,的项,2.,微分表示（罗德里格斯公式）,证：,3.,积分表示（施列夫积分）,由,科西公式,C,绕,z=x,点。,设半径为,C,上,即,二、正交关系和模,1.,正交关系,一个公式,2.,模,第一项为零，即,进行,l,次分步积分后,只有最高次幂才不为零，故,再逐次进行分步积分，得,即,三、广义傅立叶级数,定义在区间 的函数 可以展开为广义傅立叶级数,展开系数为,或区间 的函数 展开为,系数为,例：,在 ，中将 展开为广义傅立叶级数。,解：,比较,展开式最多含,三阶,勒让德多项式。,例,2,是奇函数：,因,找出,项，它在,x=0,才不为零。,例,3,解：,由,轴对称,球内含,所以,拉普拉斯方程的,轴对称,问题,边界条件与角 无关，可以推断,解也与角 无关。故,边界条件：,例,4,解：,偶延拓：,例,5,均匀电场中放置介电常数,的球，求介质球,内,、,外,的电场。,解：,无穷远处有边界条件，,球面处有衔接条件。,取球坐标，,z-,方向沿 。,轴对称拉普拉斯问题,内外分别讨论，然后连接起来。,边界条件：,衔接条件：,Internal:,External:,电势连续：,电位移连续：,连续,轴对称拉普拉斯方程度解的一般形式：,球内 有限：,球外无穷远边值：,利用衔接条件：,解得,球内电场强度：,四、母函数,定义：,叫勒让德多项式的,母函数,。,电荷在单位球的北极。,求球内任一点电势。,它又是拉普拉斯方程度内解：,令,又,所以,即,是勒让德多项式的母函数。,球外,令,所以,半径,R,的球：,例,6,解：,利用已知结果。,导体内：等势。,导体外：,无导体时,有导体时，设,接地,又,是 处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的,镜像,。,是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。,五、递推公式,两边求导,或,两边同幂的系数,递推公式,10.2,连带勒让德函数,1.,函数,设,m,是规定的,是,l,次多项式，求,l+1,次导数后变为零。,2.,微分表示,情况：,这也是勒让德方程满足自然边界条件的解。二阶微分方程至少有两个独立解，,但满足特定边界条件的解是唯一的，故这两个解只相差一个常数。,同项幂的比应该就是这个常数。例如最高次幂：,最高项：,3.,积分表示,4.,正交关系,5.,模,多次分步积分：,6.,广义傅立叶级数,m,是规定的,例,1,例,2,第一项在 ，第二项在 不为零。,7.,递推公式,由勒让德多项式的递推公式得之。,10.3,球函数,1.,球函数,2.,正交关系,3.,模,4.,球面上的广义傅立叶级数,例,1,例,2,注意：,例,3,偶极矩的电场中的电势,解,沿,x,轴,沿,y,轴,沿,z,轴,m,等于零,沿任意方向,拉普拉斯方程度的非轴对称解,例,4,球内解,其余,边界条件：,四极矩,分量：,电势是两个偶极矩分别,产生的电势的叠加：,一个,偶极矩的电势：,一般的,
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