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,章末复习课,第四章,圆与方程,章末复习课第四章圆与方程,学习目标,1.,整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识,.,2,.,培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想,.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,题型探究知识梳理内容索引当堂训练,知识梳理,知识梳理,1.,圆的方程,(1),圆的标准方程,：,.,(2),圆的一般方程,：,.,2.,点和圆的位置关系,设点,P,(,x,0,，,y,0,),及圆的方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,.,(1)(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,点,P,.,(2)(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,0),在圆外,在圆内,在圆上,r,1,r,2,d,r,1,r,2,|,r,1,r,2,|,d,r,1,r,2,d,|,r,1,r,2,|,d,r1,5.,求圆的方程时常用的四个几何性质,5.求圆的方程时常用的四个几何性质,6.,与圆有关的最值问题的常见类型,(1),形如,形式,的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题,.,(2),形如,t,ax,by,形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题,.,(3),形如,(,x,a,),2,(,y,b,),2,形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题,.,7.,计算直线被圆截得的弦长的常用方法,(1),几何方法,运用弦心距,(,即圆心到直线的距离,),、弦长的一半及半径构成直角三角形计算,.,6.与圆有关的最值问题的常见类型,注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法,.,8.,空间中两点的距离公式,空间中点,P,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，点,P,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),之间的距离,|,P,1,P,2,|,_.,注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法._,题型探究,题型探究,类型一求圆的方程,例,1,根据条件求下列圆的方程,.,(1),求经过,A,(6,5),，,B,(0,1),两点，并且圆心在直线,3,x,10,y,9,0,上的圆的方程,；,解答,解,由题意知，线段,AB,的垂直平分线方程,为,3,x,2,y,15,0,，,所求圆的方程为,(,x,7),2,(,y,3),2,65.,类型一求圆的方程例1根据条件求下列圆的方程.解答解由题,解答,解答,解,方法一设圆的方程为,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,，,又,b,2,a,，,a,2,，,b,4,或,a,2,，,b,4,，,所求圆的方程为,(,x,2),2,(,y,4),2,10,或,(,x,2),2,(,y,4),2,10,.,解方法一设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，又,方法二设圆的方程为,(,x,a,),2,(,y,b,),2,10,，,圆心,C,(,a,，,b,),在直线,y,2,x,上，,b,2,a,.,将,y,x,代入,(,x,a,),2,(,y,b,),2,10,，,得,2,x,2,2(,a,b,),x,a,2,b,2,10,0.,设直线,y,x,交圆,C,于点,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,(,x,1,x,2,),2,4,x,1,x,2,16.,方法二设圆的方程为(xa)2(yb)210，将y,(,a,b,),2,2(,a,2,b,2,10),16,，即,a,b,2.,所求圆的方程为,(,x,2),2,(,y,4),2,10,或,(,x,2),2,(,y,4),2,10.,(ab)22(a2b210)16，即ab2,求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：,第一步：选择圆的方程的某一形式,.,第二步：由题意得,a,，,b,，,r,(,或,D,，,E,，,F,),的方程,(,组,).,第三步：解出,a,，,b,，,r,(,或,D,，,E,，,F,).,第四步：代入圆的方程,.,注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等,.,反思与感悟,求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求,解析,取,AB,的中点,D,，连接,CD,，,AC,，则,CD,AB,.,跟踪训练,1,如图所示，圆,C,与,x,轴相切于点,T,(1,0),，与,y,轴正半轴交于两点,A,，,B,(,B,在,A,的上方,),，且,|,AB,|,2,，则圆,C,的标准方程为,_.,答案,解析,又因为圆,C,与,x,轴相切于点,T,(1,0),，,解析取AB的中点D，连接CD，AC，则CDAB.跟踪训练,类型二直线与圆的位置关系,例,2,已知点,M,(3,，,1,),，直线,ax,y,4,0,及圆,(,x,1),2,(,y,2),2,4.,(1),求过,M,点的圆的切线方程；,解答,类型二直线与圆的位置关系例2已知点M(3，1)，直线ax,解,圆心,C,(1,2),，半径为,r,2.,当直线的斜率不存在时，方程为,x,3.,由圆心,C,(1,2),到直线,x,3,的距离为,d,3,1,2,r,知，此时直线与圆相切,.,当直线的斜率存在时，设方程为,y,1,k,(,x,3),，,即,kx,y,1,3,k,0.,故过,M,点的圆的切线方程为,x,3,或,3,x,4,y,5,0.,解圆心C(1,2)，半径为r2.故过M点的圆的切线方程为,(2),若直线,ax,y,4,0,与圆相切，求,a,的值；,解答,(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；解答,(3),若直线,ax,y,4,0,与圆相交于,A,，,B,两点，且弦,AB,的长为,求,a,的值,.,解答,(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的,当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路,(1),代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式,0,的前提下，可利用根与系数的关系求弦长,.,(2),几何方法：若弦心距为,d,，圆半径为,r,，则弦长为,l,解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线,.,反思与感悟,当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路,跟踪训练,2,已知点,P,(0,5),及圆,C,：,x,2,y,2,4,x,12,y,24,0.,(1),若直线,l,过点,P,，且被圆,C,截得的线段长为,求,l,的方程；,解答,跟踪训练2已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12,设,D,是线段,AB,的中点，则,CD,AB,，,在,Rt,ACD,中，可得,|,CD,|,2.,设所求直线,l,的斜率为,k,，则直线,l,的方程为,y,5,kx,，即,kx,y,5,0.,此时直线,l,的方程为,3,x,4,y,20,0.,又,当直线,l,的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为,x,0,，,所求直线,l,的方程为,x,0,或,3,x,4,y,20,0.,设D是线段AB的中点，则CDAB，在RtACD中，可得|,解答,(2),求过,P,点的圆,C,弦的中点的轨迹方程,.,解,设过,P,点的圆,C,弦的中点为,D,(,x,，,y,),，,则,CD,PD,，所以,k,CD,k,PD,1,，,化简得所求轨迹方程为,x,2,y,2,2,x,11,y,30,0.,解答(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程.解设过P点的圆,例,3,已知一个圆的圆心坐标为,A,(2,1),，且与圆,x,2,y,2,3,x,0,相交于,P,1,、,P,2,两点，若点,A,到直线,P,1,P,2,的距离为,求这个圆的方程,.,类型三圆与圆的位置关系,解答,解,设圆的方程为,(,x,2),2,(,y,1),2,r,2,，,即,x,2,y,2,4,x,2,y,5,r,2,0,，,所以直线,P,1,P,2,的方程为,x,2,y,5,r,2,0,.,解得,r,2,6.,故所求圆的方程是,(,x,2),2,(,y,1),2,6.,例3已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2y2,(1),当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法,若圆,C,1,：,x,2,y,2,D,1,x,E,1,y,F,1,0,与圆,C,2,：,x,2,y,2,D,2,x,E,2,y,F,2,0,相交，则两圆公共弦所在的直线方程为,(,D,1,D,2,),x,(,E,1,E,2,),y,F,1,F,2,0.,(2),公共弦长的求法,代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长,.,几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解,.,反思与感悟,(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法反思与感悟,跟踪训练,3,已知两圆,(,x,1),2,(,y,1),2,r,2,和,(,x,2),2,(,y,2),2,R,2,相交于,P,，,Q,两点，若点,P,的坐标为,(1,2),，则点,Q,的坐标为,_.,答案,解析,(,2,，,1),跟踪训练3已知两圆(x1)2(y1)2r2和(x,解析,两圆的圆心坐标分别为,O,1,(,1,1),和,O,2,(2,，,2),，,由平面几何知，直线,O,1,O,2,垂直平分线段,PQ,，,直线,PQ,的方程为,y,2,x,1,，即,y,x,1.,由点,P,(1,2),在圆,(,x,1),2,(,y,1),2,r,2,上，,Q,(,2,，,1).,解析两圆的圆心坐标分别为O1(1,1)和O2(2，2),答案,解析,类型四数形结合思想的应用,数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数,(,方程,),的思想反映几何问题,.,反思与感悟,数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解,跟踪训练,4,已知实数,x,、,y,满足方程,x,2,y,2,4,x,1,0,，则,的,最大值为,_,，最小值为,_.,答案,解析,跟踪训练4已知实数x、y满足方程x2y24x10，,解析,如图，方程,x,2,y,2,4,x,1,0,表示以点,(2,0),为圆心，以,为,半径的圆,.,则当圆心,(2,0),到直线,y,kx,的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值,.,(,也可由平面几何知识，得,OC,2,，,CP,POC,60,，直线,OP,的倾斜角为,60,，直线,OP,的倾斜角为,120,),解析如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为,当堂训练,当堂训练,2,3,4,5,1,答案,解析,解得,a,1.,23451答案解析解得a1.,2,3,4,5,1,2.,以点,(,3,4),为圆心，且与,x,轴相切的圆的方程是,A.(,x,3),2,(,y,4),2,16,B.(,x,3),2,(,y,4),2,16,C.(,x,3),2,(,y,4),2,9,D.(,x,3),2,(,y,4),2,9,答案,234512.以点(3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程,2,3,4,5,1,3.,过点,P,的直线,l,与圆,x,2,y,2,1,有公共点，则直线,l,的倾斜角,的取值范围是,A.0,30,B.0,60,C.0,30,D.0,60,答案,解析,234513.过点P,2,3,4,5,1,4.,两圆,x,2,y,2,6,x,16,y,48,0,与,x,2,y,2,4,x,8,y,44,0,的公切线的条数,为,A.4,B.3 C.2 D.1,答案,解析,解析,两圆的标准方程分别为,(,x,
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