第七节计算机控制系统的稳定性课件

,*,School of Automation Engineering,第,7,节 计算机控制系统的稳定性分析,School of Automation Engineering,*,第7节,计算机控制系统的稳定性分析,一 稳定性的一般概念,二,S,平面和,Z,平面的相互关系,三 离散系统的稳定条件,四 采样周期对系统稳定性的影响,一 稳定性的一般概念,离散系统稳定性的概念与连续系统一样,稳定性,是指系统扰动作用下偏离,原平衡点,，当扰动作用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。,若系统能恢复平衡状态，称系统是,稳定的,；若系统在扰动作用消失以后，不能恢复平衡状态，则称系统是,不稳定的,。,系统的稳定性是系统的固有特性，它与扰动的形式无关，只取决于系统本身的,结构参数,。,二,S,平面和,Z,平面的相互关系,复变量,z,和,s,之间的关系,令,s,=,j,，,则,由此可得,S,平面,和,Z,平面,的基本对应关系：,S,平面,虚轴,映射为,Z,平面,的,单位圆,，,S,左半平面映射在,Z,平面的单位圆内，右半平面则映射在单位圆外。,角频率,与,Z,平面,相角的关系,当,S,平面的点沿虚轴由 变化到 时，,Z,平面的相角也从 变化到，,且,每变化一个,s,，,Z,平面的相角就变化 2，即转了一周,。,S,平面上的,主带,与,旁带,，将,重复映射,在整个,Z,平面上。,S,平面可分为许多宽度为,s,的平行带，,其中 的带称为,主带,，其余均为,旁带,。,O,j,S,s,/2,3,s,/2,s,/2,3,s,/2,O,Z,Re,Im,1,【解】,S,平面,实部相同而虚部相差,s,的整数倍的点均映射为,Z,平面,同一点,1,10,10,j,O,S,O,Re,Z,Im,0.533,若,s,10，试求它们映射在,Z,平面上的点,。,【例】,如图所示，在,S,平面有三个点，分别为：,S,平面上实轴的平行线（,等频率,），映射到,Z,平面是从原点出发的射线；,S,平面上虚轴的平行线（,等衰减,），映射到,Z,平面是同心圆。,O,j,A,S,O,j,S,A,O,j,Z,A,T,O,Re,Im,Z,e,A,T,S,左半平面主带映射为,Z,平面单位圆,S,左半平面的旁带也映射为,Z,平面单位圆，且与主带上相对应的点都唯一地映射在,Z,平面的同一点上。,S,右半平面主带与旁带均映射为,Z,平面同一单位圆的外部区域，且主带与旁带上相对应的点都唯一地映射在,Z,平面的同一点上,三 离散系统的稳定条件,1 离散系统稳定的充要条件,离散系统对应的,特征方程的解,必须全部位于,单位圆内,，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为不稳定。,2 离散系统稳定判据,劳斯,古尔维茨判据,劳斯古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用劳斯判据来分析离散系统的稳定性。,设离散系统的特征多项式为,P,(z),【,证,】,引入双线性变换,可以将 转化为 ，然后就可借助劳斯判据判断稳定性。,【,例,1】,设采样系统的特征方程为,根据劳斯判据,F,(,w,),在,w,右 半平面有两个根，故该采样系统有两个根在单位圆外，因此系统不稳定,【,例,2】,如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的倍数,K,的取值范围。,该系统的广义对象为,朱利阿斯特隆姆稳定判据,这是一个在数学上直接判断离散系统特征方程的根的模值是否小于 1（即在单位圆内）的判据,。,设离散系统的,特征方程,为,构造,朱利表,：,朱利表,：,从第,3,行开始，所有奇数行,n,用以下公式计算：,第,(,n,2),行系数,第,(,n,1),行系数,上两行末列系数之商,朱利阿斯特隆姆稳定判据,若特征方程式中,a,0,0，,则只有当朱利表中所有奇数行第一列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于单位圆内。即,若其中有小于零的系数，则其个数等于特征根在,Z,平面单位圆外的个数。,【例】已知系统的特征方程为,【解】,构造朱利表,试判断其稳定性。,其奇数行首列系数有两个小于零，故系统,不稳定,，且有 2 个根位于单位圆外。,离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是,：,判断系统稳定性可用如下步骤,：,判断必要条件是否成立，若不成立，系统不稳定；,若必要条件成立，再构造朱利表进一步判断。,【例2】已知系统特征方程为,试判断其稳定性。,【解】,检验必要条件,系统满足必要条件,构造朱利表,可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定,构造朱利表：,（最后一行不必再判断）,3,二阶离散系统的稳定判据,设系统特征方程为,系统稳定的必要条件为,为使系统稳定，须满足,由此可推得,即,这等价于,由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：,【例】,已知采样系统如图所示：,其中 ，,T,=1,秒，试求使系统稳定的,k,值范围。,G,o,(s),G,(,z,),R,(,s,),R,(,z,),C,(,s,),C,(,z,),【,解】,开环传函,闭环特征方程：,综合起来有,为使系统稳定，须满足二阶离散系统稳定的充要条件：,四 采样周期对系统稳定性的影响,【解】系统开环传函为,G,o,(s),G,(,z,),R,(,s,),R,(,z,),C,(,s,),C,(,z,),【,例】,已知如图所示采样统，试讨论,采样周期,对系统,稳定性,的影响。,系统闭环特征方程为：,取,T,=1，,则,取,T,=0.1，,则,取,T,=0.01，,则,即特征根为,：,为使系统稳定，该特征根应在单位圆内，即,可得,可见，当采样周期减小时，则使系统稳定的,k,值范围将增大，反之则减小。,为使系统稳定要求,当,k,值一定时，如,k,=2,，,系统特征方程为,：,可见，必须要有足够小的采样周期，系统才能稳定。,即,【结论】,采样系统的稳定性远比连续系统差。如上例中，原连续系统本身是完全稳定的，而变成采样系统后,稳定范围变小,了；,采样周期,T,是影响稳定性的重要参数，一般来说，,T,减小，稳定性增强,