拉压杆的变形与叠加原理

*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,当杆件承受轴向载荷时，其轴向和横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为,轴向变形,；垂直于轴线方向的变形称为,横向变形,。,6.8,拉压杆的变形与叠加原理,F,F,1,集装箱运载桥,D,A,B,C,P,轴向 拉杆,下面我们将所圈区域放大,2,目的：刚度问题；拉压静不定问题方法：几何法，叠加法，能量法,F,F,R,2,F,R,1,C,A,B,30,P,刚度问题,拉压静不定问题,3,工程上使用的大多数材料，其应力应变关系的初始阶段都是线弹性的，亦即当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是胡克定律，可以写成,1,o,a,b,F,F,一、拉压杆的轴向变形,4,由,得,l,l+,l,b+,b,b,F,F,胡克定律,EA,拉压刚度（抗拉刚度）,胡克定律,5,三个弹性常数之间的关系：,二、拉压杆的横向变形,试验表明,横向正应变,为,泊松,(,Poisson),比,l,l+,l,b+,b,b,F,F,6,只适用于计算在长度,l,内,F,N,及,EA,均为常值的情况，即在,l,长度内变形是均匀。,l,1,l,2,A,B,F,1,C,F,2,三、分段均匀和非均匀拉压杆的变形,l,1,l,2,A,B,F,1,C,F,2,7,如果变形是分段均匀的，,则总变形按右式分段求和：,杆变形的计算方法,1,l,1,l,2,A,B,F,1,C,F,2,l,1,l,2,A,B,F,1,C,F,2,8,如果变形是非均匀的，例如考虑自重的竖杆、变截面杆等，轴力,N,(,x,),或截面积,A,(,x,),是,x,的函数。,则总变形按右式积分求和：,杆变形的计算方法,2,l,A,B,l,A,B,F,9,A,B,C,F,1,A,B,C,F,2,l,1,l,2,A,B,F,1,C,F,2,由此可见，几个载荷同时作用时产生的总效果，等于各个载荷单独作用时产生的效果的总和。此原理称为,叠加原理,。,（线性范围）,=,四、叠加原理,10,例,1,如图螺栓内径为,d=,10.1mm,拧紧后在计算长度,l=,80mm,内产生的总伸长量为,l=,0.03mm,。,螺栓材料的弹性模量,E=,210GPa,，,泊松比,=,0.3,。试计算螺栓内的应力、螺栓的预紧力和螺栓的横向变形。,解,：拧紧后螺栓内的轴向正应变为,11,l,1,l,2,A,B,F,C,F,例,2,如图所示圆截面杆，已知,F,=4kN,，,l,1,=,l,2,=100mm,，,E,=200GPa,，为保证杆件正常工作，要求其轴向总伸长量不超过,0.10mm,，即许用变形,l,=0.10mm,。试求截面直径,d,。,解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的变形与其直径之间的关系。,12,l,1,l,2,A,B,F,C,F,F,=4kN,，,l,1,=,l,2,=100mm,，,E,=200GPa,，,l,=0.10mm,。,1,、计算轴力,2,、计算轴向变形,总伸长：,3,、刚度设计要求：,l,l,取,d,=8.7mm,13,例,3,如图所示涡轮叶片，当涡轮等速旋转时承受离心力作用。叶片横截面面积为,A,，弹性模量为,E,，单位体积的质量为,，涡轮的角速度为,，试计算叶片上的正应力与轴向变形,。,解,：,1,、叶片的外力,2,、叶片的内力与应力（截面法,F,x,=0,）,x,dx,R,0,n,n,F,N,(,x,),R,0,R,1,d,x,n,n,dF,14,x,dx,R,0,n,n,3,、叶片的变形,微段,dx,的变形,叶片的总变形,F,N,(,x,),15,解：,1,、叶片的外力,2,、,dF,单独作用效果,n-n,截面上的正应力：,叶片的变形：,3,、所有离心力作用效果的总和,n-n,的正应力：,叶片的总变形：,R,0,d,R,1,x,n,n,dF,另法：叠加原理,16,桁架,是由二力杆铰接，外力作用在节点的结构模型。其变形通常用节点的位移来表示。,例,4,图示桁架，,杆材料为钢，,E,200GPa,，横截面积,A,1,200mm,2,，,A,2,250mm,2,，杆长,l,1,2m,。,试求,P,10kN,时，节点,A,的位移。,C,A,B,30,P,五、桁架的节点位移,17,解：,1,求轴力,2,计算变形,（拉伸）,（压缩）,由节点,A,的平衡条件可得杆,、,杆,的轴力分别为,（伸长）,（缩短）,C,A,B,30,P,F,N,1,F,N,2,P,A,30,18,3,求,A,点位移。,变形后的,A,点是分别以,C,点和,B,点为圆心，以,CD,和,BE,为半径所作圆弧的交点,A,。,由于变形很小，上述弧线可近似地用切线代替，于是过,D,点和,E,点，分别作,CD,和,BE,的垂线，其交点,A,即可视为,A,的新位置。,（伸长）,（缩短）,D,C,A,B,30,P,E,A,A,19,因此，,A,点的水平位移和垂直位移为：,D,A,E,F,G,应该强调指出,，在小变形条件下，通常可,按结构原有几何形状和尺寸,计算支反力和内力，也可采用,以切线代圆弧,的方法确定位移。利用小变形概念，可以使许多问题的分析计算大为简化。,20,构件因变形而贮存的能量，叫做,应变能,或,变形能,，用,V,表示。,对于由零开始地缓慢加载，由能量守恒定律可知，贮存在构件内的应变能,V,，,在数值上等于外力所作的功,W,，,即，,W=V,。,利用应变能的概念，可以作出构件或结构的变形或位移计算，从而解决构件或结构的刚度或静不定等问题，这种方法就称为,应变能法,或,能量法,。,6.9,拉压和剪切应变能,A,B,F,1,21,条件：载荷从,0,开始缓慢的增加。,W,等于,P-,l,曲线下的面积。当,p,时，有,一、轴向拉压应变能,22,对于在长度,l,内、,N=P,及,EA,均为常值的情况，即均匀拉伸：,利用以上两式以及能量守恒定律有：,从上式可以看出，,V,恒为正。,对于线弹性情况，,p,时，,23,图,a,所示桁架，,杆材料为钢质，,E,200GPa,横截面积,A,1,200mm,2,，,A,2,250mm,2,，,杆长,l,1,2m,。,试用能量法求,P,10kN,时，节点,A,的垂直位移。,解：,1,求轴力。由节点,A,的平衡条件可得杆,、,杆,的轴力分别为,例,4,C,A,B,30,P,（拉伸）,（压缩）,F,N,1,F,N,2,P,A,30,24,2,应变能计算。,C,A,B,30,P,25,3,位移计算。设节点,A,的铅垂位移为,，由于,与,P,同向，则外力所作的功为,W=P,/,2,，由能量守恒定律可得,为正，说明,与,P,同向的假设是正确的。由于,V,恒为正，因此当只有一个外载荷,P,作功时，,必,与,P,同向。,！,这里介绍的能量法只能求载荷方向的位移。,从而有：,C,A,B,30,P,26,dx,dz,dy,y,x,z,v,为单位体积内的应变能，称为,应变能密度,。,p,时，有,代入上式得,:,单向受力,二、拉压与剪切应变能密度,，,p,27,dx,dz,dy,y,x,z,p,时，有,，代入上式得,:,剪切应变能密度：,剪切应变能：,纯剪切,，,p,28,F,D,d,h,刚杆,刚套,橡皮管,(a),r,F,(b),图,(a),所示精密仪器底板隔振器，由圆截面钢杆、圆环截面橡皮管和钢套组成，且相互之间牢固连接，设钢杆和钢套可视为刚体，橡皮管的切变模量为,G,，,试求钢杆的位移。,解：,1,应力分析。由于钢杆和钢套与橡皮管牢固连接，因此，当,F,作用时，橡皮管内外壁相当于受到一对剪力的作用，因此，可以假设橡皮管处于纯剪切状态，且设切应力沿高度方向均匀分布。取一同轴圆柱面，其应力分布如图,(b),，,由力的平衡可得,得,例,5,29,2,应变能计算。,剪切应变能密度,剪切应变能,r,(c),x,3,、,变形分析。设钢杆的轴向位移为,，并与载荷,F,同向,。则由能量守恒定律,r,F,(b),30,作业：,3-2 3-10 3-12 3-17,请思考：,图示一种“弦丝测力计”，当弦丝为线弹性材料时，问这种测力计的,F,-,是直线还是曲线，并将它画出来。,31,