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,3.2,简单的三角恒等变换,(,一,),3.2,【,知识提炼,】,1.,半角公式,_.,_.,_(,无理形式,),_(,有理形式,).,【知识提炼】,2.,常见的三角恒等变换,(1),其中,tan,=,，,所在象,限由,a,和,b,的符号确定,.,(2),2.常见的三角恒等变换,【,即时小测,】,1.,思考下列问题,(1),半角公式对任意角都适用吗？,提示：,不是对任意角都适用,.,半角的正切公式中,角的,终边不能落在,x,轴的负半轴上,.,所以,2k,+,，,k,Z.(,分母不为零即：,1+cos,0,，,cos,-1,，,2k,+,，,k,Z).,【即时小测】,(2),半角公式可以应用于任何类型的题目中，这种说法对吗？,提示：,这种说法是不正确的,.,半角公式的根式形式一般用于求值，,有理式的形式可用来化简或证明，当然也可以用来求值,.,(3),半角公式与倍角公式二者有什么关系？,提示：,半角公式与倍角公式的实质是一样的,.,因为,两边同时平方得,即,符合倍角公式,.,半角公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用,.,(2)半角公式可以应用于任何类型的题目中，这种说法对吗？,2.,若,且,(0,，,),，则,的值为,(,),【,解析,】,选,A.,因为,所以,2.若 且(0，),3.,已知,则,等于,(,),【,解析,】,选,B.,因为,所以,所以,3.已知 则 等,4.,已知,则,_.,【,解析,】,可以运用半角公式，对本题进行求解,.,因为,1800.,2.,典例,2,中的求解思路是什么？,提示：,利用平方关系求出,cos,，根据,与 之间的关系求解,.,【解题探究】1.典例1中，应如何确定 的象限，从而确定ta,【,解析,】,1.,方法一：,所以,的终边落在第,一象限，的终边落在第一、三象限,.,所以,故,答案：,【解析】1.方法一：,方法二：,答案：,方法二：,2.,因为,所以,因为,又,所以,2.因为 所以,【,方法技巧,】,解决给值求值问题的思路,已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：,(1),先化简已知或所求式子,.(2),观察已知条件与所求式子之间,的联系,(,从三角函数名及角入手,).(3),将已知条件代入所求式子，,化简求值,.,【方法技巧】解决给值求值问题的思路,【,变式训练,】,已知,为钝角，,为锐角，且,则,_.,【变式训练】已知为钝角，为锐角，且,【,解析,】,因为,为钝角，,为锐角，且,所以,所以,又因为,所以,所以,答案：,【解析】因为为钝角，为锐角，且,类型二,三角恒等式的化简,【,典例,】,1.,化简,的结果是,_.,2.,化简,(-0).,类型二 三角恒等式的化简,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，所求的式子次数不同，如何将,进行降次运算？,提示：,利用倍角公式分别逐次降幂,.,2.,是第几象限的角？,提示：,是第四象限角,.,【解题探究】1.典例1中，所求的式子次数不同，如何将,【,解析,】,1.,=cos2+3(1-cos)-2(1+cos,2,-2cos),=2cos,2,-1+3-3cos-2-2cos,2,+4cos=cos,答案：,cos,【解析】1.,2.,原式,=,因为,-0,，所以,所以,所以原式,2.原式=,【,延伸探究,】,1.(,变换条件,),若典例,2,中的式子变为,则化简后的值是什么？,【延伸探究】,【,解析,】,原式,=,所以原式,=,【解析】原式=,2.(,变换条件,),若典例,2,中式子变为,则化简后的值为什么？,2.(变换条件)若典例2中式子变为,【,解析,】,原式,=,因为,故原式,【解析】原式=,【,方法技巧,】,化简问题中的“三变”,(1),变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式,.,(2),变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切,.,(3),变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等,.,【方法技巧】化简问题中的“三变”,【,补偿训练,】,1.,化简：,【,解析,】,原式,【补偿训练】1.化简：,2.,化简,【,解析,】,原式,2.化简,类型三,三角恒等式的证明,【,典例,】,1.,证明：,2.,若,，证明,类型三 三角恒等式的证明,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，所证式子左右两边没有任何规律可言，,我们在证明时首先应该做什么？,提示：,运用比例的基本性质，可以发现原式等价于,此式右边就是,tan2.,【解题探究】1.典例1中，所证式子左右两边没有任何规律可言，,2.,典例,2,中，角 是第几象限角？,1+cos,，,1-cos,，,1+sin,，,1-sin,分别如何变形？,提示：,角 是第二象限角,.1+cos,=2cos,2,，,1-cos=2sin,2,，,2.典例2中，角 是第几象限角？1+cos，1-cos,【,证明,】,1.,原等式等价于求证,而上式左边,可见左边等于右边,.,所以上式成立，即原等式得证,.,【证明】1.原等式等价于求证,2.,因为,所以,所以左边,所以原式得证,.,2.因为,【,方法技巧,】,三角恒等式证明的常用方法,(1),执因索果法：证明的形式一般化繁为简,.,(2),左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子,.,(3),拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同,.,(4),比较法：设法证明“左边,-,右边,=0”,或“左边,/,右边,=1”.,(5),分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以判定原等式成立,.,【方法技巧】三角恒等式证明的常用方法,【,变式训练,】,证明,【,证明,】,方法一：从右边入手，切化弦，得,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以,得,左边,=,右边，原等式得证,.,【变式训练】证明,方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，,得,由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以,，,得,所以原等式成立,.,方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，,【,补偿训练,】,在,ABC,中，已知,求证,【补偿训练】在ABC中，已知,【,证明,】,因为,所以,所以,而,所以,即,【证明】因为,易错案例,利用半角公式化简,【,典例,】,(2015,大连高一检测,),已知,则,的值为,(),易错案例 利用半角公式化简,【,失误案例,】,【失误案例】,【,错解分析,】,分析解题过程，你知道错在哪里吗？,提示：,错误的根本原因是忽视了角,的取值范围，从而误认为,由于对角的范围的忽视而导致解题出现错误,.,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？,【,自我矫正,】,选,A.,因为,所以,所以原式,所以，原式,【自我矫正】选A.因为,【,防范措施,】,重视角的范围对函数值符号的影响,从里到外去掉根号时，要注意角的范围选择正负号，不能机械套用,公式，如本例中先得到,再根据,，所在象限确定,cos,，,的符号，去掉绝对值符号,.,【防范措施】重视角的范围对函数值符号的影响,
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