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选修4-4 坐标系与参数方程,第一节 坐标系,1.平面直角坐标轴中的伸缩变换,在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变_或_的单位,长度，将会对图形产生影响.,x轴,y轴,2.极坐标系的概念,（1）极坐标系,如图所示，在平面内取一个_O，叫作,极点，从O点引一条_Ox，叫作极轴，,选定一个_和_的正方向（通常,取_方向），这样就确定了一个平面极坐标系，简称为,极坐标系.,定点,射线,单位长度,角,逆时针,（2）极坐标,对于平面内任意一点M，用表示_，表示以Ox为,始边、OM为终边的_，叫作点M的极径，叫作点M的极,角，有序实数对_叫作点M的极坐标，记作_.,当点M在极点时，它的极径=_，极角可以取_.,线段OM的长,角度,（,）,M(,),0,任意值,（3）极坐标与直角坐标的互化,设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为（,），,互化的前提条件,互化公式,_与原点重合；,_与x轴非负半轴重合；,取相同的单位长度,.,极点,极轴,3.直线的极坐标方程,(1)特殊位置的直线的极坐标方程,直线,极坐标方程,图形,过极点，倾斜角,为,=_(R)或,=_(R),(,=,_和,=,_,(,0),过点,(a,0),与极轴垂直,_=a,+,+,cos,(2),一般位置的直线的极坐标方程：若直线,l,经过点,M,(,0,，,0,),，且极轴到此直线的角为,，直线,l,的极坐标方程,为：,sin(,-,)=,_,.,直线,极坐标方程,图形,过点,与极轴平,行,_=a,(0,),sin,0,sin(,-,0,),4.半径为r的圆的极坐标方程,（,1,）特殊位置的圆的极坐标方程,圆心,极坐标方程,图形,（0，0）,=_,(0,2,),(r,0),=_,r,2rcos,圆心,极坐标方程,图形,=2rsin,(0,),(r,),=-2rcos,=-2rsin,(,2,),（2）一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(,0,0,)，半,径为r，则圆的极坐标方程是,2,-2,0,cos(-,0,)+-,r,2,=0.,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.,(1)在极坐标系中，点M的坐标是唯一的.(),（2）极坐标系所在平面内的点与极坐标是一一对应的关系.(),（3）三角函数是联系极坐标与直角坐标的纽带.(),（4）椭圆伸缩后仍是椭圆.(),【解析】,（1）错误.极坐标系中的点，当0，2）时，除极点外，M的极坐标是唯一的，当R时，M的极坐标不唯一.,（2）错误.建立极坐标系后，给定（，），就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标（，）（R）却不是唯一的，所以二者不能建立一一对应关系.,（3）正确.由转化公式，根据任意角的三角函数的定义及其基本关系式，诱导公式，可以把二者联系起来.,（4）错误.变换系数与的值，伸缩后有可能为圆.,答案：,（1）（2）（3）（4）,考向 1,直角坐标系中的伸缩变换,【典例1】,在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆,的图形.,(1)x轴与y轴具有相同的单位长度.,(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍.,(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的,【思路点拨】,(1)常规描点法画椭圆.（2）改变y轴上的单位长度.（3）改变x轴上的单位长度.,【规范解答】,(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同,的单位长度,的图形如下:,（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小,为原来的 的图形如图：,（3）如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的 的图形如下:,【拓展提升】,1.图形的伸缩与坐标轴单位调整的关系,设变换前后的坐标系分别为xOy与xOy.,（1）若x轴的单位长度为x轴的单位长度的a倍，则x=ax(a0)，此时若a1，则图形左右伸长，若0a0),此时若b1,则图形上下伸长，若0b1，则图形上下压缩.,特别地，若a=b=1，则认为图形没有变化.,2.图形的伸缩变换的应用,应用图形的伸缩变换时，可以将图形特殊化，即将不规则的图形调整为规则的图形，以方便解题.,【变式训练】,在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线,的图形.,(1)x轴与y轴具有相同的单位长度.,(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍.,(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的,【解析】,(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度:图形如下:,(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的 如图：,（3）如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的 如图：,考向 2,点的极坐标与直角坐标的转化,【典例2】,（1）已知点M的极坐标为 求点M的直角坐标.,（2）若0,0，2），求直角坐标为 的点M,的极坐标.,【思路点拨】,（1）由公式 计算点的直角坐标.,（2）由公式 求解.,【规范解答】,（1）由公式 得,（2）由公式 得,点 在第四象限,且0，2），,【拓展提升】,直角坐标化为极坐标的不唯一性,（1）根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性，故点M的极坐标（，）的形式不唯一，即一个点的极坐标有多种表达形式.,当限定0，0,2)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的.,极点O的极坐标为（0，），为任意值，但一般取=0，即极点的极坐标为（0，0）.,（2）把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.,【提醒】,若没有特别要求，求出0,2)内的角即可.,【变式训练】,若曲线的极坐标方程为=2sin+4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_.,【解析】,曲线的极坐标方程为=2sin+4cos,即,2,=2sin+4cos,即x,2,+y,2,=2y+4x,整理为(x-2),2,+(y-1),2,=5.,答案：,(x-2),2,+(y-1),2,=5,考向 3,求曲线的极坐标方程,【典例3】,(1)（2012上海高考改编）,如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的,直线,l,与极轴的夹角 若将,l,的,极坐标方程写成=f()的形式，求f().,(2)（2012江苏高考）在极坐标系中，已知圆C经过点,圆心为直线 与极轴的交点，求圆C的极坐标方,程.,【思路点拨】,（1）先求直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程，也可以利用正弦定理直接求直线的极坐标方程.,（2）先求出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程，也可以直接根据圆的半径与位置求圆的极坐标方程.,【规范解答】,（1）方法一:在平面直角坐标系中，直线的倾斜,角为 故直线的斜率为 直线又过点（2,0），所,以直线的方程为,由公式 得,方法二:设直线上的任一点的极坐标为P(,),因为 所以,根据正弦定理得,（2）方法一:点 化为直角坐标为P(1,1)，直线,的直角坐标方程为 与x轴（极轴）的交点坐标为C（1,0），,圆C的半径为PC=1,圆C的直角坐标方程为(x-1),2,+y,2,=1，即x,2,+y,2,=2x，化为极坐标方程为=2cos.,方法二:圆心为直线 与极轴的交点，令,=0，得=1.,圆C的圆心坐标为（1，0）.,圆C经过点,圆C的半径为,圆C经过极点,所以圆C的极坐标方程为=2cos.,【拓展提升】,求曲线方程的方法步骤,（1）求曲线方程，首先要根据条件建立适当的平面直角坐标系（或极坐标系）.,（2）设出曲线上任意一点的坐标为M（x,y），找出此动点满足的几何条件，最后通过代数变换化简方程即可.,【提醒】,在平面直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法.在极坐标系中，求曲线的极坐标方程以上几种方法仍然是适用的.,【变式训练】,求以C（4，0）为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程.,【解析】,如图，由题设可知，,这个圆经过极点，圆心在极轴上，,设圆与极轴的另一个交点是A,在圆上任取一点P(,),连接OP,PA在RtOPA中,|OA|=8,|OP|=,AOP=,|OA|cos=，即8cos=，,即=8cos 为圆C的极坐标方程.,考向 4,极坐标方程的综合问题,【典例4】,（1）（2012安徽高考）在极坐标系中，求圆,=4sin 的圆心到直线 (R)的距离.,（2）从极点O作射线，交直线cos=3于点M，P为射线OM上,的点，且|OM|OP|=12，若有且只有一个点P在直线sin,-cos=m上，求实数m的值.,【思路点拨】,（1）化极坐标方程为直角坐标方程，计算点到直线的距离.（2）化极坐标方程为直角坐标方程，利用直线与曲线的位置关系解决.,【规范解答】,(1)圆的极坐标方程=4sin 化为直角坐标方,程为x,2,+(y-2),2,=4，圆心为（0,2）.,直线 (R)的直角坐标方程为 所以圆心到直,线的距离是,（2）设点P(,),则由|OM|OP|=12，得 所以,即=4cos(0)，,化为直角坐标方程为(x-2),2,+y,2,=4(x0)，化sin-,cos=m为直角坐标方程为y-x-m=0，因为有且只有一个点P,在直线上，所以y-x-m=0和(x-2),2,+y,2,=4(x0)相切，,即,或过原点，即m=0.,综上所述，,【拓展提升】,直线与圆的位置关系,设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则,直线与圆的,位置关系,公共点,的个数,d与r,的关系,图形,相交,两个,dr,相切,一个,d=r,相离,无,dr,【变式训练】,(2013唐山模拟)在极坐标系中，曲线C,1,的方程,为 曲线C,2,的方程为 以极点为原点，,极轴方向为x轴正方向建立直角坐标系xOy.,(1)求曲线C,1,C,2,的直角坐标方程.,(2)设A,B分别为C,1,C,2,上的动点，求|AB|的最小值.,【解析】,（1）曲线C,1,的极坐标方程化为,两边同乘以，得,则曲线C,1,的直角坐标方程为,即,曲线C,2,的极坐标方程化为,则曲线C,2,的直角坐标方程为,即,（2）将曲线C,1,的直角坐标方程化为,它表示以 为圆心，半径r=1的圆.,该圆圆心到曲线C,2,，即直线 的距离,所以直线与圆相离，故|AB|的最小值为,dr=31=2.,1,、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。,11 十一月 2024,2024/11/11,2024/11/11,2024/11/11,2,、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种偶然的机遇只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。,十一月 24,2024/11/11,2024/11/11,2024/11/11,11/11/2024,3,、书籍,通过心灵观察世界的窗口,.,住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。,2024/11/11,2024/11/11,11 November 2024,4,、享受阅读快乐，提高生活质量。,2024/11/11,2024/11/11,2024/11/11,2024/11/11,谢谢观赏,You made my day!,我们，还在,路,上,
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