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大,小,数乘向量,数乘向量,第六章-平面向量初步6,1.,向量的数乘运算,定义：实数,与向量,a,的积是一个,向量，这种,运算叫做数乘,向量，记,作,a,。,规定：（,1,）当,0,且,a0,时，,|,a|=|a,|,，且,1.向量的数乘运算,当,0,时，,a,的方向与,a,的方向,相同；,当,0时，a的方向与a的方向相同；,【,思考,】,（,1,）定义,中“是一个向量”告诉了我们什么,信息？,提示：数,乘向量的结果仍是一个,向量，它,既有大小又有,方向。,（,2,）若把,|,a|=|a|,写成,|a|=|a|,可以,吗？为什么？,提示：不可以，当,0,，所以,3a,与,a,同,向。因为,-,20,，所以,-,2a,与,a,反向。,（,2,）,。因为,|4a|=|4|a,|,，,|-,4a|=|-4|a|=4|a,|,，故,二者,相等。,（,3,）,。当,0，所以3a与a同向。因为-20，,2.,点,C,在直线,AB,上，且 ，则 等于（,）,【,解析,】,选,D,。如图，,，所以,2.点C在直线AB上，且 ，则,3.,已知,|a|=,1,，,|,b|=,3,，若,两向量方向,相反，则,向量,a,与向量,b,的关系为,b=_,a,。,【,解析,】,由于,|a|=,1,，,|,b|=,3,，则,|b|=3|a,|,，又,两向量,反向，故,b=-,3a,。答案：,-,3,3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与,类型一数乘向量的定义,【,典例,】,设,a,是非,零向量，,是非零,实数，则,以下结论正确的有,_,。,|-a|a,|,；,a,与,2a,方向,相同；,|-2a|=2|a,|,。,类型一数乘向量的定义,【,思维,引,】,根据数乘向量的概念,解决。,【,解析,】,当,01,时，,|-,a|0,，即,x,。,答案：,x,【解析】由向量数乘定义可知，2x-10，即x 。,【,加练,固,】,存在两个非零向量,a,，,b,，满足,b=-,3a,，则有（,）,A.a,与,b,方向相同,B.a,与,b,方向相反,C.|a|=|3b|D.|a|=|b|,【加练固】,【,解析,】,选,B,。因为,-,30,，所以,a,与,-3a,方向,相反。且,|-3a,|=,3|a,|,，即,|b|=3|a,|,，故,选,B,。,【解析】选B。因为-30，所以a与-3a方向相反。且|-3,类型二数乘向量的运算,【,典例,】,下列各式化简正确的是,_,。,-32a=-,5a,；,a3,（,-2,）,=-3a,；,-2,=2,；,0b=0,。,类型二数乘向量的运算,【,思维,引,】,根据数乘向量的运算律,解决。,【,解析,】,因为,-32a=-,6a,，,a3,（,-2,）,=-3a,，,-,2,=-2,=2,，,0b=0,。所以，,错误，,正确。,答案：,【思维引】根据数乘向量的运算律解决。,【,内化,悟,】,数,乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类,比？,提示：可,类比数乘单项式,运算。,【内化悟】,【,类题,通,】,a,中的实数,叫做向量,a,的,系数，数,乘向量运算就是把数与向量的系数,相乘，作为,新向量的,系数。,【类题通】,【,习练,破,】,化简下列,各式。,（,1,）,4 a,。,（,2,）,-,2,【习练破】,【,解析,】,（,1,）,4,（,2,）,-,2,=,3a,。,【解析】（1）4,类型三数乘向量的应用,角度,1,判断向量共线,【,典例,】,已知,a=2e,，,b,=-,4e,，判断,a,，,b,是否平行，求,的,值；若,a,b,，说出,它们是同向还是,反向。,类型三数乘向量的应用,【,思维,引,】,利用数乘向量的定义,解决。,【,解析,】,因为,b=-4e=-,2,（,2e,）,=-2a,，所以,a,b,，且,，即,=1,2,。向量,a,，,b,反向。,【思维引】利用数乘向量的定义解决。,【,素养,探,】,本题,主要考查向量共线条件的,应用，突出,考查了数学运算的核心,素养。本题,若把条件改为“,a=2e,，,b=3e,，,”,其他,不变，试求解。,【素养探】,【,解析,】,因为,b=3e=,a,，所以,a,b,，且,即,=2,3,。向量,a,，,b,同,向。,【解析】因为b=3e=a，所,角度,2,判断三点共线,【,典例,】,已知,=,e,，,=-,3e,，判断,A,，,B,，,C,三点是否,共线，如果共线，说出,点,A,是线段,BC,的几等,分点。,角度2判断三点共线,【,思维,引,】,利用数乘向量的定义,解决。,【,解析,】,因为,=-,3e=-3,，所以 ，,且,有公共点,B,，所以,A,，,B,，,C,三点,共线，又,因为,BC=3AB,，且向量,反向，如图，所以,点,A,是线段,BC,的三等,分点。,【思维引】利用数乘向量的定义解决。,【,类题,通,】,数乘向量的应用,（,1,）如果,存在实数,，使得,b=a,，则,b,a,。,（,2,）如果,存在实数,，使得 ，则 ，且,AB,与,AC,有公共点,A,，所以,A,，,B,，,C,三点,共线。,【类题通】,【,习练,破,】,分别,指出下列各题中,A,，,B,，,C,三点是否,共线，如果共线，指出,线段,AB,与,BC,的长度之,比。,【习练破】,【,解析,】,（,1,）因为 ，所以 ，又,有公共的,点,C,，所以,A,，,B,，,C,三点,共线，且,AB=2BC,，即,AB,BC=2,1,。,（,2,）因为 ，所以 ，又,有公共点,A,，所以,A,，,B,，,C,三点,共线，且,AB=,BC,，即,AB,BC=3,4,。,【解析】（1）因为 ，所以,
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