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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,8.1,假设检验的概念,当总体分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况，为推断总体的性质，提出某些关于总体的假设。,为判断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定的原则进行检验,然后,作出接受或拒绝所作假设的决定,.,何为,假设检验,?,其理论背景为实际推断原理，即“小概率原理”,其想法和前面的最大似然类似：如果实际观测到的数据在某假设下不太可能出现,则认为该假设错误。,我们主要讨论的假设检验的内容有,参数检验,非参数检验,:,总体均值、均值差的检验,总体方差、方差比的检验,分布拟合检验,假设检验的理论依据,例,1:,某产品的出厂检验规定,:,次品率,p,不超过,4%,才能出厂,.,现从一万件产品中任意抽查,12,件,发现,3,件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果发现,1,件次品,问能否出厂？,解,:,先作一个假设。,在,H,0,成立时,我们称,H,0,是原假设或零假设,.,再作一个备择假设,这不是,小概率事件,没理由拒绝原假设,。在不准备继续抽样的情况下，作出接受原假设的决定,即该批产品可以出厂,.,这是,小概率事件,一般在一次试验中是不会发生的,现一次试验竟然发生,故可认为原假设不成立,即该批产品次品率,p,0.04,则该批产品不能出厂,.,若抽查结果发现,1,件次品,则,在,H,0,成立时,例,2:,一条新建的南北交通干线全长,10,公里,.,公路,穿过一个隧道,(,长度忽略不计,),隧道南面,3.5,公里,北面,6.5,公里,.,在刚刚通车的一个月中,隧道南,发生了,3,起交通事故,而隧道北没有发生交通事,故,能否认为隧道南的路面更容易发生交通事故,?,分析,:,用,p,表示一起交通事故发生在隧道南的概,率,.,则,p,=0.35,表示隧道南北的路面发生交通事故,的可能性相同,.,p,0.35,表示隧道南的路面发生交,通事故的概率比隧道北的路面发生交通事故的,概率大,.,-,为了作出正确的判断,先作一个假设,H,0,:,p,=0.35.,我们称,H,0,是原假设或零假设,.,再作一个备择假设,H,1,:,p,0.35,.,在本问题中,如果判定,H,0,不对,就应当承认,H,1,.,检验,:,三起交通事故的发生是相互独立的,他们之间没有联系,.,如果,H,0,为真,则每一起事故发生在隧道南的概率都是,0.35,于是这三起交通事故都发生在隧道南的概率是,P,=0.35,3,0.043.,这是一个很小的概率,一般不容易发生,.,所以我们否定,H,0,认为隧道南的路面发生交通事故的概率比隧道北大,.,做出以上结论也有可能犯错误。,这是因为当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同,而,3,起交通事故又都出现在隧道南时,我们才犯错误。,这一概率正是,P,=0.043.,于是,我们,判断正确的概率是,1-0.043=95.7%,假设检验中的基本概念和检验思想,根据问题的背景,提出原假设,H,0,:,p,=0.35,及其备择假设,H,1,:,p,0.35.,(2),在,H,0,成立的假设下,计算观测数据出现的概率,P.,如果,P,很小,(,一般用,0.05,衡量,),就应当否定,H,0,承认,H,1,;,(3),为了简便,我们把以上的原假设和备择假设记作,H,0,:,p,=0.35,vs,H,1,:,p,0.35.,其中的,vs,是,versus,的缩写,.,如果,P,不是很小,也不必急于承认,H,0,这是因为证据往往还不够充分,.,如果继续得到的观测数据还不能使得,P,降低下来,再承认,H,0,不迟,.,例,3.,某厂生产的螺钉,按标准强度为,68,克,/mm,2,而实际生产的螺钉强度,X,服从,N,(,3.6,2,).,若,E,(,X,)=,=68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.为此提出如下,原假设,H,0,:,=68,和,备择假设,问原假设是否正确,?,H,1,:,68,现从该厂生产的螺钉中抽取容量为,36,的样本,其样本均值为,解：,构造,检验统计量,又因为 是,的无偏估计。则它偏离,68,不应该太远,偏离较远是小概率事件。,故,取较大值也是小概率事件。,若原假设,H,0,正确,则,由于,如,=0.05,。,确定一个常数,c,使得,则,规定,为小概率事件的概率大小,也是显著水平。,通常取,=0.05,0.01,由,于是检验的,拒绝域,为,现根据样本观测值，,现,未落入,拒绝域,则接受原假设,H,0,:,=68,参数检验的一般提法,一般来讲,设,X,1,X,2,X,n,是来自总体,X,的样本,是总体,X,的未知参数,但是已知,0,1,它们,是互不相交的参数集合,.,对于假设,H,0,:,0,vs,H,1,:,1,根据样本，构造一个,检验统计量,T,和,检验法则：,若与,T,的取值有关的一个,小概率事件,W,发生，则否定,H,0,，否则接受,H,0,，而且要求,此时称,W,为,拒绝域,，,为,检验水平,。,-,否定,H,0,解决假设检验的问题时,无论作出否定还是接受原假设,H,0,的决定,都有可能犯错误,.,我们称否定,H,0,时犯的错误为第一类错误,接受,H,0,时犯的错误为第二类错误,.,具体如下,(1),H,0,为真,统计推断的结果,否定,H,0,犯,第一类,错误,犯该错误的概率不超过,。,(2),H,0,为假,统计推断的结果,接受,H,0,犯,第二类,错误,，我们记犯该错误的概率为,。,H,0,为真,H,0,为假,真实情况,所作判断,接受,H,0,拒绝,H,0,正确,正确,第一类错误,(,弃真,),第二类错误,(,取伪,),假设检验的两类错误,犯第一类错误的概率通常记为,犯第二类错误的概率通常记为,如在,例,1,中,如果第一起交通事故发生后,就断定隧道南更容易发生交通事故,犯第一类错误的概率是,0.35,.,当第二起交通事故发生后,断定隧道南更容易发生交通事故,犯第一类错误的概率是,0.35,2,=0.1225.,如果第四起交通事故又发生在隧道南,否定,p,=0.35,时犯第一类错误的概率是,0.35,4,=0.015,.,P,(,拒绝,H,0,|,H,0,为真,),在,例,3,中,希望所用的检验方法尽量少犯错误,但不能完全排除犯错误的可能性,.,理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本的容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往使另一个增大,.,假设检验的指导思想,是,控制犯第一类错误的概率不超过,然后,若有必要,通过增大样,本容量的方法来减少,.,一般,作假设检验时,先控制犯第一类,错误的概率,在保证,的条件下使,尽量地小,.,要降低,一般要增大样本容量,.,当,H,0,不真时,参数值越接近真值,越大,.,备择假设可以是单侧,也可以是双侧的,.,原假设,H,0,:,=68,；,备择假设,H,1,:,68,注,1,注,2,例,3,中的备择假设是双侧的,.,如果根据以往,的生产情况,0,=68.,现采用了新工艺,关心的,是新工艺能否提高螺钉强度,越大越好,.,此,时,可作如下的假设检验,:,当,原假设,H,0,:,=,0,=68,为真时,取较大值的概率较小,当,备择假设,H,1,:,68,为真时,取较大值的概率较大,给定显著性水平,根据,可确定,拒绝域,称这种检验为,单边检验,.,原假设,H,0,:,68,备择假设,H,1,:,68,另外,可设,若原假设正确,要求,但,现不知,的真值，只知,0,=68,。由于,且,所以，只要取,C,=,z,，可得,于是,为,小概率事件。,故取拒绝域为,此时，犯第一类错误的概率,。,关于零假设与备择假设的选取,H,0,与,H,1,地位应平等,但在控制犯第一类错误,的概率,的原则下,使得采取拒绝,H,0,的决,策变得较慎重,即,H,0,得到特别的保护,.,因而,通常把有把握的、有经验的结论作为,原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为,第一类错误,.,注,3,假设检验步骤,(,三部曲,),根据实际问题所关心的内容,建立,H,0,与,H,1,。,在,H,0,为真时,选择合适的统计量,T,并,确定,拒绝域,。,根据样本值计算,并作出相应的判断,.,8.2,正态均值的假设检验,A.,已知,时，,的,正态,检验,法,例,4:,一台方差是,0.8,克的自动包装机在流水线上包装净重,500,克的袋装白糖,.,现随机抽取了,9,袋白糖,测得净重如下,(,单位,:,克,),：,499.12 499.48 499.25 499.53,500.82 499.11 498.52 500.01 498.87.,能否认为包装机在正常工作,?,分析,:,9,袋白糖中有,7,袋净重少于,500,克,似乎净重,0,=500,不对,.,但是,方差是,0.8,克,也可能是由于包装机的随机误差导致了以上的数据,.,解：,将包装机包装的袋装白糖的净重视为总体,X,则,X N,(,2,),，,其中,2,=0.8,已知，,未知,.,在,H,0,下,用,X,j,表示第,j,袋白糖的净重,则,X,1,X,2,X,9,是来自总体,X,的,n,=9,个样本,.,提出假设,H,0,:,=,0,vs,H,1,:,0,.,若要求,对于标准正态分布，,c,应为其上,/2,分位数,z,/2,，于是,拒绝域,为,本例中，如果取,=0.05,则,根据抽样数据，得,|,z,|=1.97,时,不该发生的小概率事件发生了,于是否定原假设,H,0,.,在例,4,中，,称为检验的显著性水平,简称为,显著性水平,检验水平,或水平,(level);,Z,称为,检验统计量,;,|,Z,|,z,/2,称为检验的,拒绝域,或否定域,;,-,由于这种检验方法是基于正态分布的方法,所以又称为,正态检验法或,Z,检验法,.,-,拒绝域是一个事件,它的发生与否由,|Z|,从而由观测样本,X,1,X,2,.,X,n,决定,.,-,如果事件,|,Z,|,z,/2,发生了,就称检验是显著的,.,这时否定,H,0,犯第一类错误的概率不超过,。,在例,4,中,如果取检验水平,=0.04,则临界值,z,/2,=2.054.,这时,|,z,|=1.972.054,不能否定,H,0,.,这说明在不同的检验水平下可以得到不同的检验结果,.,降低犯第一类错误的概率,就会使得拒绝域减小，从而拒绝,H,0,的机会变小，接受,H,0,的机会变大。,0,0,0,0,0,Z,检验法,(,2,已知,),原假设,H,0,备择假设,H,1,检验统计量及其,H,0,为真时的分布,拒绝域,在例,4,中,从实际数据计算得到,|,z,|=1.97.,如果拒绝域取成,|,Z,|1.97,则刚刚能够拒,绝,H,0,.,这时犯第一类错误的概率是,P,=,P,(|,Z,|1.97)=0.0488.,我们称,P,=0.0488,是检验的,P,值,(P-value).,B.,P,值检验法,P,值越小,数据提供的否定,H,0,的证据越充分,.,如果检验的显著性水平,是事先给定的,当,P,值小于等于,就要否定,H,0,.,C.,未知,时，均值,的,t,检验,法,例,5:,在例,4,中如果,9,个袋装白糖的样品是从超级市场仓库中随机抽样得到的,能否认为这批,500,克袋装白糖的平均重量是,500,克,?,标准差,未知,可用样本标准差,S,代替,.,解,:,对,0,=500,克,仍作假设,H,0,:,=,0,vs,H,1,:,0,.,在,H,0,下,从,7.3,节的定理,3.6,知道,检验统计量,说明在,H,0,下,T,在,0,附近取值是正常的,如果,|,T,|,取值较大就应当拒绝,H,0,.,根据分位数,t,/2,(,n,-1),的性质,有,P,(|,T,|,t,/2,(,n,-1)=,.,于是,H,0,的显著性水平为,的,拒绝域,是,|,T,|,t,/2,(,n,-1),取,=0.05,查表得到,t,0.05/2,(8)=2.306.,经过计算得到,S,=0.676,|,T
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