角平分线性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,角平分线的性质,1.,角平分线的性质定理：,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.,角平分线的判定,定理,:,在一个角的内部，,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,4.,角平分线的,性质定理,是,证明角相等、线段相等,的新途径,.,角平分线的,逆定理,是,证明点在直线上,(,或直线经过某一点,),的根据之一,.,3.,性质定理和逆定理的关系,点在角平分线上 点到角两边的距离相等,回顾：,动脑筋,如图,1-29,，已知,EF,CD,，,EF,AB,，,MN,AC,，,M,是,EF,的中点,.,需添加一个什么条件，就可使,CM,，,AM,分别为,ACD,和,CAB,的平分线呢？,图,1-29,ME,CD,，,MN,CA,，,同理可得,AM,是,CAB,的平分线,.,可以添加条件,MN=ME,（或,MN=MF,）,.,M,在,ACD,的平分线上，,即,CM,是,ACD,的平分线,.,图,1-29,如图,1-30,，在,ABC,的外角,DAC,的平分线上任取一点,P,，作,PE,DB,，,PF,AC,，垂足分别为点,E,，,F,.,试探索,BE+PF,与,PB,的大小关系,.,例,2,PE=PF,.,在,EBP,中，,BE+PE,PB,，,BE+PFPB,.,AP,是,DAC,的平分线，,又,PE,DB,，,PF,AC,，,解,图,1-30,举例,三,.,尺规作图角平分线的作法,已知,:AOB,如图,.,求作,:,射线,OC,使,AOC=BOC,作法,:,用尺规作角的平分线,.,A,B,O,1.,以,O,为圆心，以任意长为半径画弧交,OA,、,OB,于点,E,、,D,2.,分别以点,D,和,E,为圆心,以大于,DE/2,长为,半径作弧,两弧在,AOB,内交于点,C,3.,作射线,OC.,则射线,OC,就是,AOB,的平分线,.,A,B,O,C,D,E,如图,1-31,，你能在,ABC,中找到一点,P,，使其到三边的距离相等吗？,动脑筋,图,1-31,因为角平分线上的点到角的,两边的距离相等，所以只要作,ABC,任意两角（例如,A,与,B,）,的平分线，其交点,P,即为所求作的,点,.,点,P,也在,C,的平分线上，如图,1-32.,图,1-32,定理,:,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等,.,（这个交点叫做三角形的,内心）,练习,如图，,E,是,AOB,的平分线上一点，,EC,OA,于点,C,，,ED,OB,于点,D,.,求证：（,1,）,ECD,=,EDC,；（,2,）,OC=OD,.,（,2,）在,Rt,OED,和,Rt,OEC,中，,OE=OE,，,ED=EC,，,Rt,OED,Rt,OEC,(,HL,).,OD=OC,.,证明（,1,）,点,E,在,BOA,的平分线上，,EC,AO,，,ED,OB,，,ED=EC,.,ECD=,EDC,.,EDC,是个等腰三角形,.,2.,如图，在,ABC,中，,AD,DE,，,BE,DE,，,AC,，,BC,分别平分,BAD,，,ABE,，点,C,在线段,DE,上,.,求证：,AB=AD+BE,.,M,证明 作,CM,AB,于点,M.,AC,，,BC,分别平分,BAD,，,ABE,，,CD=CM,，,CE=CM.,在,Rt,ACD,和,Rt,ACM,中，,CM=CD,，,AC=AC,，,Rt,ACD,Rt,ACM,.,AD=AM.,.,同理，,BE=BM.,又,AB=AM+BM,，,AB=AD+BE,挑战自我,基本应用,填空：,(1).1=2,DCAC,DEAB,_,(_),(1).DCAC,DEAB,DC=DE,_,(_ _),A,C,D,E,B,1,2,1,2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,1.,如图,AD,AE,分别是,ABC,中,A,的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系,?,E,D,A,B,C,F,.,如图,求作一点,P,使,PC=PD,并且点,P,到,AOB,的两边的距离相等,.,C,D,A,B,O,.,已知,:,如图,C=90,0,B=30,0,AD,是,Rt,ABC,的角,平分线,.,求证,:BD=2CD.,A,B,C,D,、如图,在,ABC,中,已知,AC=BC,C=90,0,AD,是,ABC,的角平线,DEAB,垂足为,E.,(1),如果,CD=4cm,求,AC,的长,;,(2),求证,:,AB=AC+CD.,E,D,A,B,C,延伸训练,:,已知：如图所示：,PA,，,PC,分别是,ABC,外角,MAC,与,NCA,平分线，它们交于,P,，,PDBM,于,M,，,PFBN,于,F,求证：点,P,在,MBN,的平分线上,E,B,N,C,F,P,A,D,M,、已知：如图，,B=C=90,，,M,是,BC,的中点，,DM,平分,ADC,求证：,AM,平分,DAB,。,A,B,C,M,D,E,、已知：,MON,中，,MP,平分,OMN,，,OP,平分,MON,，且,PDMN,，,PEON,，垂足分别为点,D,、,E,求证：点,P,在,MNO,的平分线上,F,小结：,1.,定理：,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,.,2.,逆定理,：,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,.,3.,定理,:,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等,(,这个交点叫做三角形的,内心,).,4.,用尺规作角的平分线,.,（作法）,C,B,1,A,2,P,D,E,O,