资源描述
,4.1,单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,4.2,单位圆与周期性,4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,学习目标,1.,理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用,.,2,.,掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系,.,3,.,理解周期函数的定义,.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,题型探究问题导学内容索引当堂训练,问题导学,问题导学,知识点一任意角的正弦函数和余弦函数,使锐角,的顶点与原点,O,重合，始边与,x,轴的非负半轴重合，在终边上任取一点,P,，,PM,x,轴于,M,，设,P,(,x,，,y,),，,|,OP,|,r,.,思考,1,角,的正弦、余弦分别等于什么？,答案,知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角的顶点与原点O重,思考,2,对确定的锐角,，,sin,，,cos,的值是否随,P,点在终边上的位置的改变而改变？,答案,答案,不会,.,思考2对确定的锐角，sin，cos 的值是否随P点,思考,3,若取,|,OP,|,1,时，,sin,，,cos,的值怎样表示？,答案,答案,sin,y,，,cos,x,.,思考3若取|OP|1时，sin，cos 的值怎样表,(1),对于任意角,，使角,的顶点与原点重合，始边与,x,轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点,P,(,u,，,v,),，那么点,P,的,定义,为角,的正弦函数，记,作,；,点,P,的,定义,为角,的余弦函数，记,作,.,(2),对于给定的角,，点,P,的纵坐标,v,、横坐标,u,都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数,.,梳理,纵坐标,v,v,sin,横坐标,u,u,cos,(1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负,思考,知识点二正弦、余弦函数的定义域,对于任意角,，,sin,，,cos,都有意义吗？,答案,答案,由三角函数的定义可知，对于任意角,，,sin,，,cos,都有意义,.,思考知识点二正弦、余弦函数的定义域对于任意角，sin,梳理,正弦函数、余弦函数的定义域,函数名,定义域,正弦函数,R,余弦函数,R,梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数,思考,知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号,根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？,答案,答案,由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设,是一个,任意角，它的终边与单位圆交于点,P,(,u,，,v,),，则,sin,v,，,cos,u,.,当,为第一象限角时，,v,0,，,u,0,，故,sin,0,，,cos,0,，同理可得,在其他象限时三角函数值的符号,.,思考知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号根据三角函数的,梳理,正弦、余弦函数在各象限的符号,象限,三角函数,第一象限,第二象限,第三象限,第四象限,sin,cos,梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限第一象限第二象限第三象限,思考,知识点四周期函数,由,sin(,x,2,k,),sin,x,(,k,Z,),可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？,答案,答案,2,，,4,，,6,，,2,，,等都是函数的周期,.,思考知识点四周期函数由sin(x2k)sin x(,梳理,一般地，对于函数,f,(,x,),，如果,存在,，,对定义域内,的,_,x,值，都有,，我们就把,f,(,x,),称为周期函数，,称为这个函数的周期,.,特别,地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称,2,k,(,k,Z,，,k,0),为正弦函数、余弦函数的周期，其中,2,是正弦函数、余弦函数正周期,中,的,一个，,称为,，,简称为周期,.,非零实数,T,任意一个,f,(,x,T,),f,(,x,),T,最小,最小正周期,梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在 ，对定,题型探究,题型探究,命题角度,1,已知角,终边上一点坐标求三角函数,值,例,1,已知,终边上一点,P,(,x,，,3)(,x,0),，且,cos,x,，求,sin,的值,.,解答,类型一正弦函数、余弦函数定义的应用,命题角度1已知角终边上一点坐标求三角函数值解答类型一正,x,0,，,x,1.,当,x,1,时，,P,(1,，,3),，,当,x,1,时，,P,(,1,，,3),，,x0，x1.当x1时，P(1，3)，,(1),已知角,终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法,先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值,.,在,的终边上任选一点,P,(,x,，,y,),，设,P,到原点的距离为,r,(,r,0),，则,sin,，,cos,.,当已知,的终边上一点求,的三角函数值时，用该方法更方便,.,(2),当角,的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论,.,反思与感悟,(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法反思与感,跟踪训练,1,已知角,的终边过点,P,(,3,a,，,4,a,)(,a,0),，求,2sin,cos,的值,.,解答,若,a,0,，则,r,5,a,，角,在第二象限，,若,a,0,，则,为第一象限角，,r,2,a,，,若,a,0,，则,为第三象限角，,r,2,a,，,跟踪训练2已知角的终边在直线y x上，求sin,例,3,(,1),若,是第二象限角，则点,P,(sin,，,cos,),在,A.,第一象限,B,.,第二象限,C.,第三象限,D,.,第四象限,类型二正弦、余弦函数值符号的判断,答案,解析,解析,为第二象限角，,sin,0,，,cos,0,，,点,P,在第四象限，故选,D.,(2),判断下列各式的符号,.,sin 145cos(,210),；,解答,解,145,是第二象限角，,sin 145,0,，,210,360,150,，,210,是第二象限角，,cos(,210),0,，,sin 145cos(,210),0.,(2)判断下列各式的符号.解答解145是第二象限角，,sin 3cos 4.,解答,sin 3,0,，,cos 4,0,，,sin 3cos 40.,sin 3cos 4.解答sin 30，cos 4,准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键,.,反思与感悟,准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦,跟踪训练,3,若三角形的两内角,A,，,B,，满足,sin,A,cos,B,0,，则此三角形必,为,A.,锐角三角形,B.,钝角三角形,C.,直角三角形,D.,以上三种情况都有可能,解,析,由,题意知，,A,，,B,(0,，,),，,sin,A,0,，,cos,B,0,，,B,为钝角,.,故选,B.,答案,解析,例,4,(1),已知函数,f,(,x,),在其定义域上都满足,f,(,x,2),f,(,x,),，求证：函数,f,(,x,),是以,4,为周期的周期函数；,类型三周期性,证明,证明,f,(,x,4),f,(,x,2),2,f,(,x,2),f,(,x,),f,(,x,),，,由周期函数定义知，函数,f,(,x,),是以,4,为周期的周期函数,.,例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2),(2),已知函数,f,(,x,),在其定义域上都满足,f,(,x,2),，,求证：函数,f,(,x,),以,4,为周期的周期函数,.,证明,由周期函数定义知，函数,f,(,x,),是以,4,为周期的周期函数,.,(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2),(1),证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数,T,，对任意定义域内实数,x,，都有,f,(,x,T,),f,(,x,).,(2),一般地，如果,f,(,x,a,),f,(,x,),，那么,f,(,x,),的周期为,2,a,(,a,0),；如果,f,(,x,a,),，,那么,f,(,x,),的周期也为,2,a,(,a,0).,反思与感悟,(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任,跟踪训练,4,若函数,y,f,(,x,)(,x,R,),满足,f,(,x,),f,(,x,a,),f,(,x,a,)(,a,0,，,cos,0.,解析,2.当为第二象限角时，,3.,设,f,(,x,),是以,1,为一个周期的函数，且当,x,(,1,，,0,),时，,f,(,x,),2,x,1,，则,f,(),的值,为,A.2,B.0,C,.,1,D,.,3,答案,解析,f,(,x,),是以,1,为一个周期的函数，,k,Z,也是,f,(,x,),的周期,.,解析,又当,x,(,1,，,0),时，,f,(,x,),2,x,1,，,2,3,4,5,1,3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1，0)时,4.,点,P,(sin 2 016,，,cos 2 016),位于第,象限,.,答案,解析,解析,2 016,5,360,216,，,2 016,是第三象限角,，,则,sin 2 0160,，,cos 2 016,0.,2,3,4,5,1,三,4.点P(sin 2 016，cos 2 016)位于第,5.,已知角,的终边在直线,y,2,x,上，求,sin,cos,的值,.,解答,2,3,4,5,1,5.已知角的终边在直线y2x上，求sin cos,解,在直线,y,2,x,上任取一点,P,(,x,，,2,x,)(,x,0),，,2,3,4,5,1,解在直线y2x上任取一点P(x，2x)(x0)，23,2,3,4,5,1,23451,规律与方法,1.,三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点,.,2.,三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想,.,3.,正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求,0,2(,或,0,360),角的三角函数值,.,规律与方法1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础,本课结束,本课结束,
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