2.3.1 变量之间的相互关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.1,变量间的相关关系,在学校，老师经常对学生这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系。这种说法有没有依据呢？,思考,1,商品销售,收入,与,广告支出,经费之间的关系。商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系，但商品收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关。,2,粮食,产量,与,施肥量,之间的关系。在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。,3,人体内,脂肪含量,与,年龄之间,的关系。在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。,应当说，对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断，因为“经验当中有规律”。但是，不管你经验多么丰富如果只凭经验办事，还是很容易出错的。因此，在分析两个变量之间的关系时，我们还需要有一些有,说服力的方法,。,1,、刚才我们提过的现实生活中存在许多相关关系：商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年龄等等的相关关系,.,2,、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，,找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断,.,3,、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，,所以样本数据应较大，和有代表性,.,才能对它,们之间的关系作出正确的判断,.,引入,.,年龄,脂肪,23,9.5,27,17.8,39,21.2,41,25.9,45,49,27.5,26.3,50,28.2,53,29.6,54,30.2,56,31.4,57,30.8,年龄,脂肪,58,33.5,60,35.2,61,34.6,如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？,探究,从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律,.,而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数,.,我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断,.,下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，称该图为,散点图,。,如图：,O,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,5,10,15,20,25,30,35,40,从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们,成正相关,。但有的两个变量的相关，如下图所示,：,如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。,作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽车每消耗,1,升汽油所行使的平均路程，称它们,成负相关,.,O,我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫,回归方程,。,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,0,5,10,15,20,25,30,35,40,那么，我们该怎样来求出这个回归方程？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？,.,方案,1,、,先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,0,5,10,15,20,25,30,35,40,.,方案,2,、,在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同。,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,0,5,10,15,20,25,30,35,40,方案,3,、,如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,年龄,脂肪含量,0,5,10,15,20,25,30,35,40,我们还可以找到更多的方法，但这些方法都可行吗,?,科学吗？准确吗？怎样的方法是最好的？,我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为,回归方法。,我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式,:,以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫,最小二乘法,。（参看如书,P88,）,回归方程,2.3.2,变量间的线性关系,一、相关关系的判断,例,1,：,5,个学生的数学和物理成绩如下表：,A,B,C,D,E,数学,80,75,70,65,60,物理,70,66,68,64,62,画出散点图，并判断它们是否有相关关系。,解：,数学成绩,由散点图可见，两者之间具有正相关关系。,二、求线性回归方程,例,2,：观察两相关变量得如下表：,x,-1,-2,-3,-4,-5,5,3,4,2,1,y,-9,-7,-5,-3,-1,1,5,3,7,9,求两变量间的回归方程,解,1,：,列表：,i,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,-1,-2,-3,-4,-5,5,3,4,2,1,-9,-7,-5,-3,-1,1,5,3,7,9,9,14,15,12,5,5,15,12,14,9,计算得,:,所求回归直线方程为,y=x,求线性回归直线方程的步骤：,第一步：列表 ；,第二步：计算 ；,第三步：代入公式计算,b,a,的值；,第四步：写出直线方程。,总结,2,、回归直线方程,（,1,）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。,（,2,）最小二乘法,A,、定义；,B,、正相关、负相关。,1,、散点图,小结,