矩形的折叠问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩形,的折叠问题,（复习课）,几何研究的对象是：,图形的形状、大小、位置关系；,主要培养三方面的能力：,思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力；,折叠型问题的特点是：,折叠后的图形具有轴对称图形的性质；,两方面的应用：,一、在“大小”方面的应用；二、在“位置”方面的应用。,折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题。,一、在“大小”方面的应用,1,、求线段与线段的大小关系,例,1,如图，,AD,是,ABC,的中线，,ADC=45,，,把,ADC,沿,AD,对折，点,C,落在点,C,的位置，求,BC,与,BC,之间的数量关系。,解 由轴对称可知,ADC,ADC,ADC=ADC=45,CD=CD=BD,BCD,为,Rt,BC=2 BD=,BC,2,2,练习,1,如图，有一块直角三角形纸片，两直角边,AC=6,，,BC=8,，,现将直角边,AC,沿直线,AD,折叠，使它落在斜边,AB,上，且与,AE,重合，则,CD,等于（）,(A)2 (B)3 (C)4 (D)5,例,2,如图，折叠矩形的一边,AD,，点,D,落在,BC,边上点,F,处，已知,AB=8,，,BC=10,，则,EC,的长是,。,解,设,EC=x,，则,DE=8-x,，,由轴对称可知：,EF=DE=8-x,，,AF=AD=10,，,又因,AB=8,，故,BF=6,，故,FC=BC-BF=4,。在,Rt,FCE,中，,4,2,+x,2,=(8-x),2,，,解之得,x=3,B,练习,2,如图，在梯形,ABCD,中，,DC,AB,，,将梯形对折，使点,D,、,C,分别落在,AB,上的,D,、,C,处，折痕为,EF,。若,CD=3,，,EF=4,，则,AD,+BC,=,。,2,练习,3,如图，将矩形,ABCD,纸片对折，设折痕为,MN,，,再把,B,点叠在折痕线,MN,上，若,AB=,3,，,则折痕,AE,的长为（）。,(A)33,/2,(B)33,/4,(C)2 (D)23,E,C,2,、求角的度数,例,3,将长方形,ABCD,的纸片，沿,EF,折成如图所示；已知,EFG=55,，,则,FGE=,。,70,练习,4,如图，矩形,ABCD,沿,BE,折叠，使点,C,落在,AD,边上的,F,点处，如果,ABF=60,，,则,CBE,等于（）。,(A)15,(B)30 (C)45 (D)60,A,3,、求图形的全等、相似和图形的周长,例,4,如图，折叠矩形,ABCD,一边,AD,，,使点,D,落在,BC,边的一点,F,处，已知折痕,AE=5,5 cm,，且,tanEFC=3,/4.(1),求证：,AFB,FEC,；,(2),求矩形,ABCD,的周长。,证明：,（,1,）,B=,C=D=90,，,又,根据题意,Rt,ADE,RtAFE,AFE=90,AFB=FEC ,AFBFEC.,解,（,2,）由,tan,EFC=3,/4,，设,EC=3k,，则,FC=4k,，在,Rt,EFC,中，得,EF=DE=5k,。,DC=AB=8k,又,ABFFCE,=,即,=,AB,BF,8k,BF,FC,CE,4k,3k,BF=6k,AF=10k,在,Rt,AEF,中,AF,2,+EF,2,=AE,2,(10k),2,+(5k),2,=(5,5),2,k,2,=1,k=,1,k=1(,取正值,),矩形的周长为,36k,，,即,36cm,。,练习,5,如图，将矩形纸片,ABCD,沿一对角线,BD,折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符号写出来。,练习,6,如图，矩形纸片,ABCD,，,若把,ABE,沿折痕,BE,上翻，使,A,点恰好落在,CD,上，此时，,AE,:ED=5:3,，,BE=5,5,，,求矩形的长和宽。,答案：,ABDCDB,CDBEDB,EDBABD,ABFEDF.,答案：矩形的长为,10,，宽为,8,。,4,、求线段与面积间的变化关系,例,5,已知一三角形纸片,ABC,，,面积为,25,，,BC,的长为,10,，,B,和,C,都为锐角，,M,为,AB,上的一动点,(M,与,A,、,B,不重合,),，过点,M,作,MNBC,，交,AC,于点,N,，设,MN=x.(1),用,x,表示,AMN,的面积,S,A,MN,。,(2)AMN,沿,MN,折叠，设点,A,关于,AMN,对称,的点为,A,，,AMN,与四边形,BCMN,重叠部分的面积为,y.,试求出,y,与,x,的函数关系式，并写出自变量,X,的取值范围；当,x,为何值时，重叠部分的面积,y,最大，最大为多少？,解（,2,）,A,MN,AMN,，,设,A,MN,中,MN,边上的高为,h,1,，,A,EF,中,EF,边上的高为,h,2,.EFMN,A,EFA,MN.,A,MNABC,A,EFABC,ABC,中,BC,边上的高,h=5,h,1,:x=5:10,h,1,=,x.,又h,2,=2h,1,-5=x-5,=(),2,S,A,EF,=(),2,25=(x-5),2,S,A,EF,S,ABC,h,2,5,X-5,5,y=,S,A,MN,-,S,A,EF,=,x,2,-(x-5),2,=,-,x,2,+10 x 25.,当点,A,在四边形,BCNM,内或在,BC,边上（如图,1,），即,0 x5,时，,y=x,2,。,图1,当点,A,在四边形,BCNM,外，即,5,x10,时，,y=,S,A,MN,-,S,A,EF,（,如图,2,）,图2,综上所述,，当,0,x,5,时，,y=,x,2,；,当,5,x 10,时，,y=,-,x,2,+10 x-25,。,当,0,x5,时,取,x=5,，,y,最大,=,5,2,=25,4,；,当,5,x 25,4,x=203,时,y,最大,=253.,练习,7,如图，把一张边长为,a,的正方形的纸进行折叠，使,B,点落在,AD,上，问,B,点落在,AD,的什么位置时，折起的面积最小，并求出这最小值。,O,解：,如图，设,MN,为折痕，折起部分为梯形,EGNM,，,B,、,E,关于,MN,对称，所以,BEMN,，且,BO=EO,，设,AE=x,，则,BE=,。,由,RtMOB,，,得：,，,BM=,=,=,.,作,NFAB,于,F,，,则有,RtMNF,FM=AE=x,从而,CN=BM-FM=,=,。,S,梯形,BCNM,=,。,=,(x-a/2),2,+3/8 a,2,.,当,x=a2,时，,S,min,=(38)a,2,.,例,6,将长方形,ABCD,的纸片，沿,EF,折成如图所示，延长,CE,交,AD,于,H,，,连结,GH,。,求证：,EF,与,GH,互相垂直平分。,二、在“位置”方面的应用,由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。,1,、线段与线段的位置关系,证明：,由题意知,FHGE,，,FGHE,，,。,又,，,四边形,是,，,FE,与,GH,互相垂直平分。,2,、点的位置的确定,例,7,已知：如图，矩形,AOBC,，以,O,为坐标原点，,OB,、,OA,分别在,x,轴，,y,轴上，点,A,坐标为,(0,3),，,OAB=60,，以,AB,为轴对折后，使,C,点落在,D,点处，求,D,点坐标。,x,y,解由,题意知，,OA=3,，,OAB=60,，,OB=3tan60,=3,3,.,RtACBRtADB,AD=AC=OB=33 .,x,y,过点,D,作,Y,轴垂线，垂足为,E,，,在,直角三角形,AED,中，,ED=,，,AE=,，故,OE=,。,故点,D,的坐标为（,3,/2,3,，,-3,/2,）。,练习,8,如图，在直角三角形,ABC,中，,C=90,，,沿着,B,点的一条直线,BE,折叠这个三角形，使,C,点与,AB,边上的一点,D,重合。当,A,满足什么条件时，点,D,恰好是,AB,的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明,D,为,AB,中点。,条件：,A=30,证明：,由轴对称可得，,BCEBDE,，,BC=BD,，,在,ABC,中，,C=90,，,A=30,，,BC=,AB,，,BD=,AB,，,即点,D,为,AB,的中点。,