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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,球面三角形的边角关系,球面三角形的边角关系,旧知回顾,定性研究和定量研究相结合是问题的一般方法前面几讲，我们对球面三角形的边角关系进行了定性研究，得出了“两边之和大于第三边”“大边对大角”“等边对等角”等结论,旧知回顾 定性研究和定量研究相结合是问题的一般,新课导入,我们知道，平面三角形的边角之间存在定量的边角关系,:,正弦定理、余弦定理对于球面三角形，其边角之间是否有类似平面三角形的正弦定理、余弦定理这种定量关系呢？,新课导入 我们知道，平面三角形的边角之间存在定,为方便类比，我们首先给出平面上的正弦定理、余弦定理,C,B,A,a,c,b,图,7-1,平面 如下图所示，,为方便类比，我们首先给出平面上的正弦定理、余,则有,正弦定理：,余弦定理：,则有 余弦定理：,教学目标,感知球面三角形的定量研究在现实中的,应用,掌握球面上的正弦定理和余弦定理,了解正弦定理和余弦定理的证明,知识与能力,教学目标 感知球面三角形的定量研究在现实中的 知识与能力,通过观察，了解正弦定理和余弦定理的特点,进一步了解球面三角形再实际生活中的应用,通过实例来深入对球面三角形的认识,过程与方法,让学生从定量的角度来学习球面三角形,从生活中大量存在的现象中得出规律,培养合作交流意识,情感态度与价值观,通过观察，了解正弦定理和余弦定理的特点过程与方法 让学生,球面上的正弦定理和余弦定理,余弦定理的证明,余弦定理的应用,教学重难点,球面上的正弦定理和余弦定理教学重难点,一、球面上的正弦定理和余弦定理,为简便起见，考虑单位球面上的情况,图,7-2,O,F,C,B,A,a,c,b,H,D,E,G,一、球面上的正弦定理和余弦定理 为简便起见，考虑单位球面上的,如图,7-2,，单位球面上球面,ABC,的边长分别为,a,，,b,，,c,，则,a=BC=,BOC,（弧度），,a=BC=,BOC,（弧度），,a=BC=,BOC,（弧度），球面,ABC,的三个内角分别为,A,，,B,，,C,，根据球面角的定义可知，,A,，,B,，,C,，,分别等于二面角,C-OA-B,，,A-OB-C,，,A-OC-B,的大小,如图7-2，单位球面上球面ABC的边长分别为a，b,下面，我们首先看一下二面角,A-OB-C,和二面角,A-OC-B,。如图,7-2,，过点,A,作,AD,平面,OBC,，点,D,为垂足，再过,D,点分别作,DE,OB,，,DF,OC,，,E,、,F,为垂足，连结,AE,、,AF,下面，我们首先看一下二面角A-OB-C和二面角A-O,因为,DE,是,AE,在平面,OBC,的射影，,且,DE,OB,，所以,OB,AE,.,同理，,OC,AF.,因此，,DEA,和,DFA,分别为二面角,A,OB,C,和,A,OC,B,的平面角,所以，,DEA=B,DFA=C .,因为DE是AE在平面OBC的射影，因此，DEA和,在,Rt,ADE,和,Rt,ADF,中,因为,AD,=,AE,sin,DEA=OA,sin,AOB,sin,B,=,sin,c,sin,B,AD,=,AF,sin,DFA=OA,sin,AOC,sin,C=,sin,b,sin,C,.,在RtADE和RtADF 中,因为,所以,，,sincsinB=sinbsinC,即,同理,所以，sincsinB=sinbsinC,所以,可以得到：,球面上的正弦定理,设单位球面上球面,ABC,的三个内角分别为,A,B,C,，三边长分别为,a,b,c,，则,所以,可以得到：,继续考察图,7-2,，则,OF,=,cos,b,OE,=,cos,c.,过点,F,作,FG,OB,于,G,点，则,OE=OG+GE,OG,=,OF,cos,a,=,cos,b,cos,a,.,过点,D,在平面,OBC,内作,DH,FG,，垂足为,H,，则,DH,OB,，所以有,DFH,=,BOC,=,a,且四边形,DEGH,是矩形,继续考察图7-2，则OF=cosb,OE=cosc,所以,GE=DH=DF,sin,BOC=AF,cos,C,sin,a,=,sin,b,sin,a,cos,C,.,因此,cos,c=,cos,a,cos,b+,sin,a,sin,b,cos,C,.,同理,cos,a=,cos,b,cos,c+,sin,b,sin,c,cos,A .,cos,b=,cos,a,cos,c+,sin,a,sin,c,cos,B,.,所以 GE=DH=DFsinBOC=AFcosCsina因,于是，得到：,球面上的余弦定理,设单位球面上球面 的三个内角分别为,A,B,C,，三边长分别为,a,b,c,，则,cosc=cosacosb+sinasinbcosC,.,cosa=cosbcosc+sinbsinccosA,，,cosb=cosccosa+sincsinacosB,，,于是，得到：cosc=cosacosb+si,如果球的半径为,r,，那么从上图可知,BC=a=r,BOC,AC=b=rAOC,AB=c=rAOB,，,因此在推导过程中，分别用,a,r,b,r,c,r,代替,a,b,c,，就得到半径为,r,的球面上的正弦定理与余弦定理,正弦定理 ；,如果球的半径为r，那么从上图可知BC=a=rBOC,余弦定理,余弦定理,在球上是否有类似于平面上的勾股定理？,答案是肯定的，即存在类似于平面上的勾股定理,在球面,ABC,中，若,C,=90,，称,ABC,为球面直角三角形由球面上的余弦定理可以得到球面直角三角形中三边之间的关系称为,球面上的“勾股定理”,在球上是否有类似于平面上的勾股定理？,球面上的“勾股定理”,设单位球面上球面,ABC,的三个内角分别为,A,，,B,，,C,，,其中一个内角,C=,90,，三边长分别为,a,b,c,，则,cosc=cosacosb,.,球面上的“勾股定理”,设单位球面上球面,ABC,的三个内角分别为,A,，,B,，,C,，,其中一个内角,C=,90,，三边长分别为,a,b,c,，则,余弦定理的另一种表达式,设单位球面上球面ABC的三个内角分别为 A，,二、用向量方法证明球面上的余弦定理,1.,向量的向量积,为了证明球面上的余弦定理，引入一种新的运算,向量积,二、用向量方法证明球面上的余弦定理 1.向量的向量积,设向量,a,、,b,的夹角为 ，把大小为 ，方向垂直于,a,和,b,，且与,a,和,b,构成右手系的向量，叫做,a,和,b,的,向量积,a,a,b,b,图,7-3,设向量a、b的夹角为 ，把大小为,记作,a,b,，大小表示为,.,容易验证，向量积满足以下的运算律：,（,1,）,(,反交换律,).,（,2,）,.,（,3,）,(,分配律,).,记作ab，大小表示为,我们知道，在空间直角坐标系中，可以用向量的坐标表示向量的数量积运算，同样也可以向量的坐标表示向量的向量积运算,利用向量的向量积和数量积的坐标关系，可以得到向量积和数量积之间的关系,：,（*,）,我们知道，在空间直角坐标系中，可以用向量的坐,x,z,y,c,d,a,b,a,b,c,d c,d,图,7-4,给定向量,a,b,c,d,那么,a,b,和,c,d,分别是向量,a,b,和向量,c,d,所成平面的法向量,这,xzycdababcd cd图7-4 给,两个法向量所成的角与向量,a,b,和向量,c,d,所成的平面二面角相等或互补，设这两个平面所成的二面角是 ，则,两个法向量所成的角与向量a,b 和向量c,2.,球面上余弦定理的向量证明法,图,7-5,O,C,A,B,c,c,b,a,b,a,如图,7-5,，设单位球面上，,球面 的三边长分别为,a,b,c,，,且它们满足：,，则,2.球面上余弦定理的向量证明法图7-5OCABccbaba,又因为,所以,又因为所以,同理,这就得到球面上的余弦定理,类似的方法可以证明正弦定理,同理 这就得到球面上的余弦定理类似的方法可以证明正弦定理,三、从球面上的正弦定理看球面与平面,观察平面上与球面上的正弦定理,三、从球面上的正弦定理看球面与平面 观察平面上,从形式上看两个分式中，对应项的分子相同，分母不同，一个是边长，一个是边长的正弦值在什么情况下，边长的正弦值可以近似于边长的值呢？,从形式上看两个分式中，对应项的分子相同，分母,这说明，当球面三角形的边长相对于球的半径很小时，球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦定理,如果弧度数越小，单位圆中的正弦线长与相应的弧长就非常接近，即当,a,b,c,很小时，有 ，这时球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦定理,这说明，当球面三角形的边长相对于球的半径很小,四、球面上余弦定理的应用,求地球上两城市之间的距离,地球表面可以近似看作球面，那么求地球上两地之间的距离就可以看成是求球面上两点之间的距离,四、球面上余弦定理的应用 地球表面可以近似看,设单位球面上两点,A,（，）、,B,（，），假设,C,为北极，球面 的边,长分别为,a,b,c,，由经度的定义可知球面角 ，再由球面上的余弦定理得：,距离,.,若半径为,R,，则两点之间的距离为,R,c,.,设单位球面上两点 A（，）、,课堂小结,球面上的正弦定理和余弦定理：,cos,c=,cos,a,cos,b+,sin,a,sin,b,cos,C,.,cos,a=,cos,b,cos,c+,sin,b,sin,c,cos,A,，,cos,b=,cos,c,cos,a+,sin,c,sin,a,cos,B,，,课堂小结球面上的正弦定理和余弦定理：cosc=cosacos,
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