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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,定积分的概念和基本性质,定积分的定义,定积分的基本性质,1定积分的概念和基本性质 定积分的定义定积分的基本性质,2,例,:,求曲线,y,=,x,2,、直线,x,=,1,和,x,轴,所围成的曲边三角形的面积,。,x,y,O,y,=,x,2,1,4.3.1,引出定积分定义的例题,2 例:求曲线 y=x2、直线 x=1和,3,x,y,O,y,=,x,2,1,(4),取极限,取,S,n,的极限，得曲边三角形面积：,(1),分割,(2),近似,(3),求和,3x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得,4,x,y,O,y,=,x,2,1,(4),取极限,取,S,n,的极限，得曲边三角形面积：,(1),分割,(2),近似,(3),求和,4x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得,5,x,y,O,y,=,x,2,1,(,4),取极限,取,S,n,的极限，得曲边三角形面积：,(1),分割,(2),近似,(3),求和,5x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得,6,分 割,求 和,近 似,取极限,把整体的问题分成局部的问题,在局部上“以直代曲”,求出局部的近似值；,得到整体的一个近似值；,得到整体量的精确值；,例,:,求曲线,y,=,x,2,、直线,x,=,1,和,x,轴,所围成的曲边三角形的面积,。,6分 割求 和近 似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上,7,一般地，求由连续曲线,y,=,f,(,x,)(,f,(,x,),0),，直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：,y,=,f,(,x,),b,x,y,O,a,x,i-1,x,i,=,x,0,x,n,=,x,i,7 一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x),8,例,2,设物体沿直线作变速运动，速度为,v,=,v,(,t,),假定,v,(,t,),是,t,的连续函数，求此物体在时间区间,a,b,内运动所走距离,s,。,t,O,t,n,=,=,t,0,t,1,t,i,1,t,i,t,n,1,a,b,t,i,引出定义的实例二,：求物体作变速直线运动所经过的路程,解：,(2),在第,i,(,i,1,2,n,),个时间段,t,i,1,t,i,上任取一时刻,i,，用,v,(,i,),D,t,i,近似替代物体在第,i,个,时间段所走距离,:,D,s,i,v,(,i,),D,t,i,。,(1),用分点,t,=,t,i,(,t,i,1,0,f(x),0,利用定积分几何意义验证：,定积分的几何意义,19课本例题：定积分的几何意义,20,性质,1,：,4.3.2,定积分的基本性质,有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若,f,i,(x),(,i,=1,2,n,),在,a,b,内可积，则有,20 性质1：4.3.2 定积分的基本性质有,21,性质,2,：,4.3.2,定积分的基本性质,一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若,f(x),在,a,b,上可积，则,cf(x),在,a,b,上也可积（,c,为常数），且满足,21 性质2：4.3.2 定积分的基本性质一,22,性质,3,：积分的可加性定理,4.3.2,定积分的基本性质,设,f(x),在,a,b,内可积，若,acb,则,f(x),在,a,c,和,c,b,上可积；反之，若,f(x),在,a,c,和,c,b,上可积，则,f(x),在,a,b,内可积，且有,22 性质3：积分的可加性定理4.3.2 定,23,性质,4,：积分的可加性定理,4.3.2,定积分的基本性质,交换积分上下限，积分值变号，即,特别地，若,a=b,，则,23 性质4：积分的可加性定理4.3.2 定,24,性质,5,：,4.3.2,定积分的基本性质,设,f(x),和,g(x),在,a,b,上皆可积，且满足条件,f(x)g(x),，则有,24 性质5：4.3.2 定积分的基本性质设,25,性质,6,：,4.3.2,定积分的基本性质,25 性质6：4.3.2 定积分的基本性质,26,性质,7,：,4.3.2,定积分的基本性质,若函数,f(x),在,a,b,上可积，且最大值与最小值分别为,M,和,m,，则,推论,：若函数,f(x),在,a,b,上可积，则,26 性质7：4.3.2 定积分的基本性质若,27,性质,8,：定积分中值定理,4.3.2,定积分的基本性质,设,f(x),在区间,a,b,上连续，则在,a,b,内至少有一点,(,a,b,),使得下式成立：,同时，我们称下式为,f(x),在,a,b,上的,平均值,27 性质8：定积分中值定理4.3.2 定积,28,课本例题：,例,5,：不计算积分，试比较下面两个积分的大小,定积分的基本性质,28课本例题：定积分的基本性质,
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