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,一、热电子发射和功函数,热电子发射电流密度,W,称为,功函数,经典图象,：,金属中的自由电子看成在恒定势阱中的自由质点，势阱深度,表示电子摆脱金属束缚必须作的功。电子服从经典统计，速度分布为：,dn,是速度在 区间的电子数密度。,7.2,功函数和接触势差,选,x,坐标沿垂直发射面方向，则发射电流密度：,与热电子发射电流密度相比较，得,结论：热电子发射的功函数直接给出势阱的深度,。,功函数,量子理论图像：,电子的能量,将电子看作准经典粒子，电子的速度,单位体积中，在 中量子态数：,费米分布函数,内平均电子数,离开金属表面满足,功函数,与热电子发射电流密度相比较,W,：,导带中费密能级附近的电子离开金属必须做的功,与经典情况相类比，直接得,E,F,0,x,V,W,金属,真空,E,F,0,x,V,W,金属,真空,二、不同金属中电子的平衡和接触电势,任意两块不同的金属,A,和,B,相互接触，由于两块金属的,费米能级,不同，相互接触时发生,电子交换,，达到平衡后，在两块金属中产生了,接触电势差,。,电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属。,达到平衡时，两块金属的费米能级相同,，接触电势差补偿了原来两块金属的费米能级差。,W,A,W,B,(E,F,),B,(E,F,),A,金属,A,金属,B,W,A,W,B,E,F,金属,A,金属,B,e,V,AB,接触电势差,:,金属,1,：带正电，,V,A,0,，静电势能,eV,A,0,金属,2,：带负电，,V,B,0,一、分布函数方法和玻耳兹曼方程,平衡时，电子的分布遵从,Fermi,Dirac,统计，,f,=,f,(E),，,E=E(,k,),有外场（如电场、磁场或温度梯度场）时，电子也会很快达到一个新的定态分布。因此，可以定义一个非平衡态的分布函数，确定后可用来计算电流密度。此函数可写成与位置、波矢、时间有关的形式。,f,(,r,k,t),7.3,金属中电子的输运问题,达到稳定状态时，分布函数的时间变化率来自两方面：,(1),漂移变化：,电子在外场作用下的加速运动,;,(2),碰撞变化：,电子与晶格或缺陷碰撞而引起分布函数的变化。,描述分布函数时间变化率的方程，玻耳兹曼方程：,定态方程：,平衡时电子在正空间和倒空间分布,麦克斯韦分布给出：,v,到,v,+d,v,内的粒子数,在,k,空间，,dk,内的状态数目为,自旋,用,f,0,E(k),t,表示费米函数，并考虑单位体积内的电子数（令,V=1,）,密度,E(k)=E(-k),f,0,E(k),T,对于,k,，,-k,是对称的，而它们的电流,-qv(k),和,-qv(-k),相反，因而恰好抵消,E=,常数情况,欧姆定律,电子在恒定外场作用下，电子达到一个新的动态统计分布。可用一个与平衡时相似的分布函数,f,(k),描述，,k,空间内单位体积内的电子数为,它们的速度可写出,v(k),，则对电流密度贡献为,积分,只要确定了分布函数,f,(k),，即可直接计算,j,简单电子论中，解释欧姆定律的主要物理基础,电子在电场,E,作用下加速,电子由于碰撞失去定向运动,E,作用下电子分布在,k,空间的运动速度,碰撞效果是使分布恢复平衡，假设电子有一定的碰撞自由时间,t,，而且一旦碰撞完成后电子完全丧失在电场中获得的定向运动，,k,空间类似,通过分布函数来研究输运过程，可概括为一个关于分布函数的微分方程,玻耳兹曼方程,f,(,k,t),的物理意义：在,t,时刻，电子位置处在状态处在,k,k,+,dk,范围内的电子数。,1,）漂移项：,在,E,、,B,作用下,流体力学连续性原理,T,=0,，分布函数与,r,无关,电磁场引起的变化为,0,f,(,r,k,t),的物理意义：在,t,时刻，电子位置处在,r,r,+,dr,体积元内，状态处在,k,k,+,dk,范围内的电子数。,1,）漂移项：,流体力学连续性原理,T,0,，分布函数与,r,有关,2,）碰撞项,由于晶格原子振动，或杂质存在等，碰撞时，电子从状态,k,跃迁到,k,，相当于正空间从,v,变得,v,散射：电子态由于碰撞而发生的变化，跃迁几率函数,不考虑自旋的变化,d,3,k,内的粒子数为,d,t,内跃迁的数目为,k,态状态数,k,态未被占,据的状态数,积分得因跃迁而失去的粒子数,k,态失去的粒子数,对调,k,k,即得,k,态得到的粒子数,得,k,态内粒子数变化,碰撞引起,f,的变化率为,注意：碰撞只取决于,k,，,k,态跃迁几率，与,r,无关,描述,跃迁到,k,态引起,k,态电子的增加对分布函数的影响,描述,跃迁出,k,态引起,k,态电子的减少对分布函数的影响,将漂移和碰撞项代入定态玻耳兹曼方程，得：,考虑,定态（与时间无关）的导电问题：,利用：,以及,f,与位置,r,无关的情况：,方程化为：,弛豫时间近似,弛豫时间近似下的碰撞项,f,0,：平衡时的费米函数，,(,k,),：弛豫时间,在,t=0,时撤去外场,t=0,时,f,=,f,0,+,f,0,，,弛豫时间近似的假设认为，碰撞促使分布函数偏离平衡分布的部分以指数的形式消失。,7.4,弛豫时间近似和导电率公式,弛豫时间,基本上是系统恢复平衡所用的时间。,Boltzmann,方程可简化为,积分：,通常将,f,按,E,的幂级数,展开，采用,逐步逼近法,求解,Boltzmann,方程,f=f,0,+f,1,+f,2,+,一般电导服从欧姆定律，相当于弱场情形，分布函数只需考虑到,E,的一次幂。,电流密度可直接进行积分：,电导率,第一项即平衡分布时电流为零。,即欧姆定律,由,f,0,/E,函数近似函数的性质可知，,电导率决定于费米面,E,F,附近的情况,。,考虑各向同性情形，假设导电电子有效质量均为,m,*,各向同性情形，,与,k,无关，则,忽略（,k,B,T/E,F,0,),2,以及高次项，,可得,电导率决定于费米面,E,F,附近的情况。,对电子受到的晶格散射的分析表明：,（,1,）,当温度较高时，,1/,与,T,成正比,，因此解释了金属电阻与温度成正比的事实。（经典理论无法解释）,（,2,）,1/,与能态密度成正比,，因此解释了过渡金属具有高电阻率的事实。过渡金属,d,能带,有很高的能态密度。,（,3,）低温下，考虑到晶格振动模式数的减少和散射角度对效率的影响，,金属的电阻率在低温极限随,T,5,变化,。,Wiedemann,Franz,定律,热导率：,电导率：,热导率：,Wiedemann,Franz,定律,j,x,B,q,x,y,z,0,E,H,将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称为,Hall,效应,正电荷,q,受的力：,稳定时，,F,0,Hall,效应,又由于,Hall,系数,对于自由电子：,q=-e,n,：单位体积中的载流子数，即载流子浓度,由,Hall,系数的测量不仅可以判断载流子的种类（带正电还是带负电），而且还是测量载流子浓度的重要手段,
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