数值积分方法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 数值积分方法,计算,但是在许多实际问题经常遇到下列情况：,（,1,）,原函数存在但不能用,初等函数,表示；,（,2,）,原函数可以用初等函数表示，但,结构复杂,；,（,3,）,被积函数没有表达式，仅仅是一张,函数表,。,问题提出,解决以上情况的积分问题，最有效的办法为数,值积分法。此种方法是利用被积函数在一些离散,点处的函数值，而求得满足一定代数精度要求的,定积分近似值。,取,左,端点,矩形,近似,数值积分的,思想：,分割,、近似、,求和,取,右,端点,矩形,近似,定积分,几何,意义：,曲边梯形的面积,数值积分公式的,一般形式,：,其中,求积,节点,求积,系数,仅与,求积节点,有关,求积公式的,截断误差,或,余项,：,5.1,插值型求积公式,思想,用被积函数 在区间,上的,插值多项式,近似代替计算,作,n,次,Lagrange,插值多项式,:,设已知函数 在节点,上的函数值,其中,余项,则有数值积分公式,这是用插值函数代替被积函数导出的定积分近似,计算公式，称为,插值型数值积分公式,。,n=1,时的求积公式,一、梯形,公式,用,梯形,面积近似,这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为,梯形数值积分公式,。,几何意义,截断误差：,已知线性插值的截断误差为,积分中值定理：连续、不变号,n=2,时的求积公式,二、,Simpson,公式,将,a,b,二,等分，等分节点,x,0,=,a,，,x,1,=(,a+b,)/2,，,x,2,=,b,作为积分节点，构造二次,Lagrange,插值多,项式,L,2,(,x,),：,这是用二次插值函数代替被积函数导出的定积分近似计算公式，称为,辛普森数值积分公式,。,几何意义：,Simpson,积分公式的截断误差（定理）：,积分中值定理：,连续、不变号,复合求积法,通常把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式,Simpson,积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间,a,b,上的积分公式，这种方法称为,复合求积法,。,5.2,复合,求积,公式,5.2.1,复化梯形积分,将,a,b,分成若干小区间，在每个区间,x,i,x,i,+1,上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，就得到区间,a,b,上的数值积分。这种方法称为,复化梯形积分,。,计算公式,将,a,b,n,等分,h,=,x,i+,1,-,x,i,=,(,b,-,a,)/,n,x,i,=,a,+,ih,i,=0,1,2,n,记为,T,(,h,),或,T,n,(,f,):,复化梯形,公式的几何意义,小梯形,面积,之和,近似,复化梯形,公式,复化梯形,公式的余项,设,由,介值,定理,余项估计式,计算公式,将,a,b,2,m,等分,m,为积分子区间数，记,n,=2,m,，,n+,1,为节点总数，,h,=,x,i+,1,-,x,i,=,(,b,-,a,)/,n,x,i,=,a,+,ih,i,=0,1,2,n,5.2.2,复化,Simpson,公式：,复化,Simpson,公式,复化,Simpson,公式的几何意义,小抛物,面积,之和,近似,系数首尾为,1,，奇数点为,4,，偶数点为,2,复化,Simpson,公式的余项,设,由,介值,定理,余项估计式,例：,分别利用复化,梯形,公式、,复化,Simpson,公式,计算,积分 的近似值，要求按复化,Simpson,公,式计算时误差不超过,。,解：,首先来确定,步长,复化,Simpson,公式的余项：,其中,本题 的求法：,由,归纳法,知,解不等式得,将区间,8,等分，分别采用复化,Simpson,、,梯形,公式,0,1/8,1/4,3/8,1,0.997398,0.989688,0.976727,1/2,5/8,6/8,7/8,1,0.958851,0.936156,0.908858,0.877193,0.841471,复化,梯形,公式,(,n=8,),复化,Simpson,公式,(,n=4,),代数精度的判别方法,如果求积公式,对一切不高于,m,次的多项式都,恒成立,，而对于某个,m+1,次多项式,不能精确成立,，则称该求积公式具有,m,次代数精度。,定理 求积公式,具有次,m,代数精度的充要条件是 为,时求积公式,精确成立,，而 为 时求积公式不能成为等式。,5.3,数值积分公式的代数精度和,Gauss,求积,公式,例,2,见,p73,的例,5.5,Gauss,求积,公式,一、,Gauss,积分问题的提法,前述,的,求积公式中求积节点是取,等距节点,，求积系数计算方便，但,代数精度,要受到限制；,为了提高,代数精度,，需要适当选择求积节点,:,当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，,求积公式的,代数精度,最高,能达到多少？,具有,最高,代数精度,的求积公式,中求积节点如何选取？,积分公式的,一般形式,：,形如,的,插值型,求积公式的代数精度最高不超过,2n+1,次。,定理,这样由方程组的,4,个方程就能求出,4,个未知数，得,根据定理知三点插值型求积公式的代数精度为,5,，,同理可以去验证三点高斯求积公式,二、,Gauss,求积公式的应用,积分,见书上的,P75.,