空间向量在立体几何中的应用sxz课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,(,一,),证明两直线平行,a,b,空间向量在立体几何中的应用,b,a,CD,AB,b,D,C,a,B,A,;,?,?,?,?,?,A,B,C,D,一,.,平行问题,明两向量平行。,得到两向量，转化为证,分别取不同的两点,方法思路：在两直线上,b,a,y,x,y,x,y,x,CD,y,x,AB,),(,),(,1,2,2,1,2,2,1,1,?,?,?,?,则有,知,(一)证明两直线平行 ab空间向量在立体几何中的应用 baC,?,a,(,二,),证明线面平行,?,?,?,AB,0,AB,.,1,AB,n,n,n,a,B,A,a,?,?,?,?,?,?,?,若,，,的法向量为,面,面,线,?,a,a,1,e,2,e,?,?,?,?,?,.,2,2,2,1,1,2,1,a,e,e,a,e,e,a,a,?,?,?,），若,组基底（不共线的向量,的一,是平面,、,，,的方向向量为,外的直线,已知面,则可得线面平行。,即证明数量积为,这一向量与法向量垂直,得一向量，证明,量，在直线找不同两点,方法思路：求面的法向,，,0),(,n,A,B,.,从而证线面平行,外的线平行,则可得面内一直线与面,相等）,内存在一向量与方向向,底线性表示（即在平面,组基,方向向量可用平面的一,方法思路：证明直线的,?a(二)证明线面平行?AB0AB,(,三,),面面平行,?,?,m,n,?,?,?,?,?,.,1,?,?,n,m,n,m,，,和,分别是,的法向量,与,不重合的两平面,?,?,m,A,B,C,D,O,?,?,?,?,?,?,.,2,?,?,m,m,若,，,的法向量为,面,与,不重合的两平面,?,?,?,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,O,CD,AB,CD,m,AB,m,O,CD,AB,CD,m,AB,m,即,则两平面平行。,为证明两法向量平行,法向量，转化,方法思路：求两平面的,两面平行。,（即都垂直），则可得,量积为,的不共线的两向量的数,法向量与另一面,平面的法向量，再证该,方法思路：求出其中一,0,(三)面面平行?mn?.1?,(,一,),证明两直线垂直,a,b,?,二,.,垂直问题,a,b,b,a,b,a,b,a,b,a,?,?,?,?,0,，则有,和,分别为,的方向向量,和直线,不重合的直线,则可证两直线垂直。,两向量的数量积为,，证明,两向量,在两直线上各取两点得,分别,方向向量,方法思路：找两直线的,0,),(,(一)证明两直线垂直 ab?二.垂直问题 abbababab,(,二,),证明线面垂直,l,?,?,?,?,?,?,?,?,l,m,a,m,a,l,.,1,则有,，,的方向向量为,平面,，,的方向向量为,直线,a,m,可证线面垂直。,需证明两向量平行，则,只,及平面的法向量,上取两点得一向量,在两直线,向向量,方法思路：找直线的方,),(,(二)证明线面垂直 l?lmamal,(,二,),证明线面垂直,l,?,?,?,?,?,?,?,?,?,a,e,a,e,a,e,e,a,l,0,0,.,2,2,1,2,1,且,则有,共线的向量）,的一组基底（不,是平面,，,的方向向量为,直线,1,e,2,e,a,m,线面垂直。,（即都垂直），则可证,量积都为,的数,与平面内两不共线向量,取两点得一向量,在两直线上,方向向量,方法思路：证明直线的,0,),(,(二)证明线面垂直 l?aeaeaeeal0,(,三,),证明面面垂直,?,?,m,n,?,?,?,?,?,?,?,?,0,.,1,n,m,n,m,，则有,和,为,的法向量分别,和,不重合的平面,?,?,1,e,2,e,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,1,2,1,n,.,2,e,e,e,e,n,则有,向量），,的一组基底（不共线的,是平面,，,的法向量为,平面,则可证明两平面垂直。,两向量数量积为为,法向量，只需证明,方法思路：找两平面的,0,线性表示。,不共线的向量,面的一组基底,即法向量可以用另一平,向量与另一平面平行,面的法向量，证明该法,方法思路：找其中一平,),(,(三)证明面面垂直?mn?0,三,.,处理角的问题,(,一,),求异面所成的角,?,a,b,A,B,C,D,|,|,|,|,|,cos,|,cos,CD,AB,CD,AB,CD,AB,b,a,b,D,C,a,B,A,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则有,所成的角为,是两异面直线,。,夹角相等或互补,直线所成的角与向量的,但要理解异面,套公式。,为向量的夹角问题,转化,线的方向向量,方法思路：找两异面直,),(,三.处理角的问题(一)求异面所成的角?abABCD|,?,l,(,二,),求线面角,A,B,m,|,cos,|,sin,?,?,?,?,m,AB,m,l,B,A,l,?,?,?,?,?,的法向量，则有,是面,若,，,所成的角为,与面,的斜线,设平面,互余）,与两向量所在直线夹角,注意线面角,再套公式。,转化为向量的夹角问题,，,向向量与平面的法向量,方法思路：找直线的方,(,?l(二)求线面角 ABm|,cos|sin,?,?,?,l,(,三,),求二面角,n,m,l,与,的法向量分别为,，,若面,，,的大小为,设二面角,?,?,?,?,?,?,?,m,n,|,cos,|,cos,),2,0,(,),1,(,?,?,?,?,n,m,?,?,?,则有,即,若二面角为锐二面角，,|,cos,|,cos,),2,(,),2,(,?,?,?,?,?,n,m,，,?,?,?,?,则有,即,若二面角为钝二面角，,。,（钝）二面角，套公式,，并结合图形判断是锐,为,大小,的法向量，设二面角的,方法思路：找两半平面,?,?l(三)求二面角 nml 与的法向量分别为，,?,?,l,a,b,，,，,，已知,的大小为,设二面角,b,D,C,a,B,A,l,b,l,a,b,a,l,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,|,CD,AB,cos,|,cos,CD,AB,),2,0,(,),1,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，故有,相等或互补,即与,的夹角,与,等于直线,，则,即,若二面角为锐二面角，,b,a,A,B,C,D,|,CD,AB,cos,|,cos,CD,AB,),2,(,),2,(,?,?,?,?,?,?,，故有,相等或互补,即与,的夹角互补,与,等于直线,，则,，,即,若二面角为钝二面角，,?,?,?,?,?,b,a,公式处理。,是锐（钝）二面角，套,角问题，结合图形判定,为向量的夹,垂线所成的角，再转化,二面角问题转化这两条,垂直于公共棱，则可把,在两半平面各找一直线,方法思路,:,?lab，已知的大小为设二面角bDCaBAlblaba,四,.,处理距离问题,(,一,),点到面的距离,d,?,P,Q,m,),(,|,|,P,:,的投影的长度,在法向量,向量,的距离,面,到,点,的法向量，则有,是平面,得,任取一点,m,PQ,m,m,PQ,d,m,PQ,Q,?,?,?,?,?,?,套公式。,在法向量的投影的长度,转化为,得一向量,与点,在面内任取一点,组可求,方程,任一法向量,方法思路：求出平面的,PQ,P,Q,),(,m,四.处理距离问题(一)点到面的距离d?P Qm),(,二,),求两异面直线的距离,d,a,b,?,A,B,C,D,|,m,|,m,AC,?,?,?,则两异面直线的距离,，,都垂直的向量,找一向量与两异面直线,，,是两异面直线，,知,d,m,b,D,C,a,B,A,b,a,|,m,|,m,AC,d,m,AB,C,A,m,?,?,距离,上的投影的长度,在向量,就是,则其距离,异面直线上各任取一点,然后分别在两,向量,与两异面直线都垂直的,的距离，先找一向量,方法思路：求异面直线,d,的坐标，,可用方程组求出,都垂直，,、,与异面直线,向量,m,b,a,m,(二)求两异面直线的距离d ab?ABCD|m|mAC ,五,.,如何建立适当的坐标系,O,A,B,C,三线两两互相垂直,有公共顶点的不共面的,.,1,锥等等。,侧棱垂直于底面的三棱,三角形且过直角顶点的,是直角,是矩形的直棱柱、底面,正方体、长方体、底面,五.如何建立适当的坐标系 OABC三线两两互相垂直有公共顶点,2.,有一侧棱垂直底面,O,A,B,C,OAB,OC,底面,?,是等边三角形,）,（,OAB,1,?,为斜边的直角三角形,是以,）,（,OB,OAB,2,?,P,A,B,C,D,是菱形,，且四边形,底面,ABCD,ABCD,PA,?,的菱形,是,，且四边形,底面,?,?,?,60,ABC,ABCD,ABCD,PA,2.有一侧棱垂直底面 OABCOABOC底面?是等边三角形）,直棱柱的底面是菱形,直棱柱的底面是菱形,3.,有一侧面垂直于底面,.,60,ADC,ABCD,2,PCD,ABCD,P,的菱形,是,底面,垂直，,的正三角形，且与底面,长为,是边,中，侧面,四棱锥,?,?,?,3,2,SC,SA,ABC,SAC,4,ABC,ABC,S,?,?,?,?,且,，,底面,平面,的正三角形，,是边长为,中,在三棱锥,两平面垂直的性质定理,:,若两面垂直,则在其中一面,内垂直于它们的交线的直线垂直于另一平面,转化,为有一线垂直于底面的问题,.,3.有一侧面垂直于底面.60ADCABCD 2 PCDAB,正四棱锥,正三棱锥,正四棱锥 正三棱锥,侧面是正三角形,另一,且,的斜边,是公共,是全等的直角三角形,、,侧面,中,在三棱锥,如图,1,CD,BD,3,AD,AD,ACD,ABD,BCD,A,A,B,D,C,2,2,3,1,1,2,侧面是正三角形另一且的斜边是公共是全等的直角三角形、侧,的距离。,到平面,求点,的大小的正切值；,求二面角,；,平面,求证：,且,面,的中点,分别是,、,的正方形,是边长为,例：如图，,GMN,B,),3,(,C,MN,G,),2,(,GMN,BD,),1,(,2,ABCD,CG,AD,AB,N,M,4,ABCD,?,?,CG,A,M,B,C,D,G,N,x,y,Z,),0,4,4,(,),0,4,2,(,),2,0,0,(,),0,0,4,(,),0,4,0,(,),0,2,4,(,),0,0,0,(,GMN,BD,N,2,),0,2,2,(,),0,4,4,(,),1,(,面,又,建系略,略解：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,M,BD,MN,BD,MN,BD,GMN,BD,GMN,MN,面,面,又,?,?,),(,),(,z,y,x,m,GMN,?,个法向量为,的一,设平面,法二,的距离。到平面求点的大小的正切值；求二面角；平面求证：且,A,M,B,C,D,G,N,x,y,Z,),0,4,4,(,),0,4,2,(,),2,0,0,(,),0,0,4,(,),0,4,0,(,),0,2,4,(,),0,0,0,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,0,0,2,4,2,),2,4,2,(,),(,0,2,2,),0,2,2,(,),(,z,y,x,y,x,z,y,x,z,y,x,GM,m,y,x,z,y,x,MN,m,),3,1,1,(,3,1,1,?,?,?,?,m,z,x,y,故,则,取,GMN,BD,GMN,MN,面,面,又,?,?,GMN,BD,m,BD,BD,面,又,而,?,?,?,?,?,?,0,),0,4,4,(,),2,0,0,(,),2,(,?,CG,CMN,的一个法向量为,易得半面,),2,0,?,?,?,?,?,?,?,（,的大小为,设二面角,C