梁的弯曲内力

材料力学,p.,*,材料力学,梁 的 弯 曲 内 力,Shear Forces and Bending Moments,弯曲的基本概念,1受力特征：,外力垂直于杆件的轴线；,图4-1,4对称弯曲：,梁有一纵向对称面，外力作用在对称面内，梁变形后，轴线仍在该对称面内；,纵向对称面,对称轴,轴线,q,p,m,2变形特征：,轴线的曲率改变；,3梁和梁的截面,：,以弯曲变形为主的杆件；常见梁的截面有：圆截面、矩形截面、工字型截面、T字型截面等，如图4-1；,梁的简化,R,x,R,y,图4-3,R,图,4-2,R,x,R,y,图4-4,M,1支座的基本形式和支反力,(1)可动铰支座：只限制梁的约束处在某一方向的移动，支反力与该移动趋势方向相反，见图4-2；滑动轴承、径向滚动轴承和滚轴支座均可简化成可动铰支座；,(2)固定铰支座：限制梁的约束处在二个相互垂直方向的移动，支反力为二个与移动趋势方向相反的力，见图4-3；止推轴承和不动铰支座简化为固定铰支座；,(3)固定支座或固定端：限制梁的约束处在二个相互垂直方向的移动和绕过约束处且与梁轴线垂直的轴转动，反力为二个与移动趋势方向相反的力和一个与转动趋势相反的约束力偶；见图4-4；长轴承和金属切削刀架可简化为固定支座；,梁的简化,2载荷和简化,(1)集中力：作用力分布范围远小于梁的宽度时；,(2)分布载荷：沿梁的全长或部分长度连续分布；用载荷集度q表示，当q为常数时称均布载荷；,(3)集中力偶：作用在梁的纵向对称面内；,纵向对称面,对称轴,轴线,q,p,m,梁的简化,图4-6,图4-5,图4-7,3静定梁的基本形式,(2)外伸梁：具有一个或二个外伸部分的简支梁；见图4-6；,(3)悬臂梁：一端固定、一端自由的梁；见图4-7；,(1)简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座；见图4-5；,梁的内力-剪力和弯矩,x,m,m,P,1用截面法求内力：,由平衡方程：,其中，Q称剪力，M称弯矩；,P,x,m,m,P,M,Q,x,o,梁的内力-剪力和弯矩,2剪力和弯矩的符号规定和计算,(+),Q,Q,(-),Q,Q,图,4-8,截面左边的,向上的集中力,在截面上产生数值相等的,正,剪力，而,向下的集中力,在截面上产生数值相等的,负,剪力；处理分布力时，先将,分布力简化成集中力,，然后按集中力处理；外,力偶不产生剪力,；,(1)剪力：按图4-8所示变形规定符号；或“左上右下”的剪力为正，反之为负；,梁的内力-剪力和弯矩,2剪力和弯矩的符号规定和计算,(+),(-),图4-9,M,M,M,M,(2)弯矩：按图4-9所示变形规定符号；或“左顺右逆”的弯矩为正，反之为负；,(,截面左边,的,向上的集中力,或,顺时针外力偶,在截面上产生,正,弯矩，而,向下的集中力,或,逆时针外力偶,在截面上产生,负,弯矩；外力产生弯矩的数值等于,外力乘以,外力至截面的,距离,，外力偶产生弯矩的数值等于外力偶的数值；处理分布力时，先将,分布力简化成集中力,，然后按集中力处理；,梁的内力-剪力和弯矩,3剪力方程和弯矩方程：,上列函数一般是,分段函数,，,剪力方程,在,集中力,作用处分段，,弯矩方程,在集中力和,集中力偶,作用处分段；,剪力和弯矩表达成为横截面位置x的函数式，即,4剪力图和弯矩图：,横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示剪力或弯矩，即可画出剪力图和弯矩图；,剪力方程,弯矩方程,载荷集度、剪力和弯矩间的关系,M(x)+dM(x),M(x),Q(x)+dQ(x),Q(x),dx,q(x),C,1推导：,由平衡方程：,略去高阶微量，整理得：,合并二式：,从梁中任意取出一dx微段，微段上作用分布集度为q(x)的外力，如图所示；,以上三式即为剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系式。,（1）,（2）,（3）,载荷集度、剪力和弯矩间的关系,(1)梁上某段,无,载荷作用，即q(x)=0，则Q(x)=0或Q(x)=,常量,，表示剪力图在这一段中是一条,平,直线；,当Q(x)=0时，则M(x)=0或M(x)=常量，表示弯矩图在这一段中是一条平直线；,当Q(x)=,常量,时，则M(x)是x的,一次函数,，表示弯矩图在这一段中是一条,斜,直线；,2利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图,(2)梁上某段,作用均布载荷,，即q(x)=常量，则Q(x)是x的,一次函数,，M(x)是x的,二次函数,，表示剪力图在这一段中是一条,斜,直线，弯矩图在这一段中是一条,抛物线,；,当,q(x)0,时，弯矩图是一条,下凸,的抛物线；当,q(x)0,，则Q(x)在这一段内,递增,，,反之,则,递减,；,当梁某段内,Q(x)0,，则M(x)在这一段内,递增,，,反之,则,递减,；,(4)在dx微段中作用,集中力,P(假设向上)，则dQ(x)=P，dM(x)=0；表示过集中力作用的截面上，剪力向上突变了P(当P力方向向下时，则向下突变)，而,弯矩仍不变,；,(5)在dx微段中作用,集中力M,0,(假设顺时针方向)，则dQ(x)=0，dM(x)=M,0,；表示过集中力偶作用的截面上，,剪力,保持,不变,，,弯矩,向上,突变,了M,0,(当M,0,是逆时针方向时，则向下突变)；,载荷集度、剪力和弯矩间的关系,2利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图,(6)将前二式积分得：,其中积分常数是：C=Q(0)；,或,其中积分常数是：C=Q(x1)；,和,其中积分常数是：D=M(0)；,或,其中积分常数是：D=M(x1)；,即,任意截面上的剪力,等于q图上0到x(或x1到x),面积的代数和,加,积分常数,；,任意截面上的弯矩,等于Q图上0到x(或x1到x),面积的代数和,加,积分常数,；,载荷集度、剪力和弯矩间的关系,2利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图,(7)若在梁的某截面上,Q=0,，则该截面上的,弯矩,为一,极值,，但不一定是最大值或最小值；,3平面刚架和平面曲杆的内力图：,一般情况下，内力包括,轴力,、,剪力,和,弯矩,，,规定,弯矩,图画在杆件,受压,的一侧；,