空间中的点直线与空间向量课件

第1讲描述运动的基本概念,第1讲描述运动的基本概念,高中数学,选择性必修第一册 人教,B,版,高中数学 选择性必修第一册 人教B版,1.2空间向量在立体几何中的应用,1.2.1空间中的点、直线与空间向量,第一章空间向量与立体几何,1.理解直线的方向向量.,2.会用向量证明两条直线平行与垂直,会求空间中两条直线所成的角.,1.2空间向量在立体几何中的应用第一章空间向量与立体几何,2,一般地,如果在空间中指定一点,O,那么空间中任意一点,P,的位置,都可以由,向量,唯一确定,此时,通常称为点,P,的位置向量.,1|,用向量表示点的位置,第一章空间向量与立体几何,一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位,3,条件,直线,l,上一点,A,表示直线,l,方向的向量,v,(即直线,l,的一个,方向向量,),形式,在直线,l,上取,=,v,那么对于直线,l,上任意一点,P,一定存在唯一,的实数,使得,=,=,v,作用,定位置,点,A,和向量,v,可以确定直线的,位置,定点,可以具体表示出,l,上的任意,一点,2|,用向量表示直线的位置,第一章空间向量与立体几何,条件直线l上一点A表示直线l方向的向量v(即直线l的一个,4,异面直线所成的角的取值范围是,两向量夹角的取值范围是,0,.设,l,1,与,l,2,是两异面直线,a,、,b,分别为,l,1,、,l,2,的方向向量,l,1,、,l,2,所成的角为,由向,量夹角的定义及求法知与,相等,或,互补,且cos,=,|cos|,.,1.直线,l,的方向向量是唯一的.,(,),2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.,(,),3.若向量,a,是直线,l,的一个方向向量,则向量,ka,也是直线,l,的一个方向向量.,(,),4.若,A,B,在直线,l,上,且,A,(1,0,-1),B,(2,1,2),则直线,l,的一个方向向量是(1,1,3).,(,),5.若直线,l,1,与,l,2,不重合,且直线,l,1,的方向向量,v,1,=(-1,1,2),直线,l,2,的方向向量,v,2,=(2,0,1),则,3|,异面直线所成的角,l,1,l,2,.,(,),判断,正误,，,正确,的画“”,，,错误,的画“”,。,第一章空间向量与立体几何,异面直线所成的角的取值范围是,两向量,5,1|,空间中点的位置的确定,李老师下班回家,先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m,再向东行驶1 500 m,最后乘电梯上升15 m到达5楼的住处.在这个过程中,李老师从学校大门口回到住,处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示).,第一章空间向量与立体几何,1|空间中点的位置的确定李老师下班回家,先从学校大门口骑自,6,1.上图中的三个位移是同一个平面内的向量吗?,提示:不是.,2.如何刻画李老师相对学校的位移?,提示:借助空间向量的运算.,第一章空间向量与立体几何,1.上图中的三个位移是同一个平面内的向量吗?第一章空间向量,7,在空间中,我们取一定点,O,作为基点,那么空间中任意一点,P,的位置就可以用向量,来表示.我们把向量,称为点,P,的位置向量.,空间中任意一条直线,l,的位置可以由,l,上一个定点,A,以及一个方向向量,确定.,对于直线,l,上的任意一点,P,存在唯一实数,t,使得,=,t,此方程称为直线的向量参,数方程.这样点,A,和向量,不仅可以确定直线,l,的位置,还可以具体表示出,l,上的任,意一点.,8,已知,O,是坐标原点,A,、,B,、,C,三点的坐标分别为,A,(3,4,0)、,B,(2,5,5)、,C,(0,3,5).,(1)若,=,(,-,),求,P,点的坐标;,(2)若,P,是线段,AB,上的一点,且,AP,PB,=12,求,P,点的坐标.,解析(1)由题意得,=(-1,1,5),=(-3,-1,5),=,(,-,)=,(2,2,0)=(1,1,0),P,点的坐标为(1,1,0).,(2)由,P,是线段,AB,上的一点,思路点拨,(1)由条件先求出,的坐标,再利用向量的运算求,P,点的坐标.,(2)先把条件,AP,PB,=12转化为向量关系,再运算.,第一章空间向量与立体几何,解析(1)由题意得,=(-1,1,5),=(,9,且,AP,PB,=12,知,=,.,设,P,点的坐标为(,x,y,z,),则,=(,x,-3,y,-4,z,),=(2-,x,5-,y,5-,z,),故(,x,-3,y,-4,z,),=,(2-,x,5-,y,5-,z,),即,解得,因此,P,点的坐标为,.,第一章空间向量与立体几何,且APPB=12,第一章空间向量与立体几何,10,1.利用向量求异面直线所成的角的两种方法,(1)基向量法:利用线性运算.,(2)坐标法:利用坐标运算.,2.注意向量的夹角与异面直线所成角的区别.,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,此角就是异面直线所成的角;当异,面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.,2|,利用向量求异面直线的夹角,第一章空间向量与立体几何,2|利用向量求异面直线的夹角第一章空间向量与立体几何,11,利用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤,设两条异面直线,a,b,的方向向量分别为,a,b,其夹角为,则cos,=|cos,|=,(其中,为异面直线a,b所成的角).,第一章空间向量与立体几何,利用坐标法求异面直线所成的角的,12,直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,BCA,=90,M,N,分别是,A,1,B,1,A,1,C,1,的中点,BC,=,CA,=,CC,1,则,BM,与,AN,所成角的余弦值为,(),A.,B.,C.,D.,解析以,C,1,为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,第一章空间向量与立体几何,与AN所成角的余弦值为()第一章空间向量与立体几,13,设,BC,=,CA,=,CC,1,=2,则,A,(2,0,2),N,(1,0,0),M,(1,1,0),B,(0,2,2),=(-1,0,-2),=,(1,-1,-,2),cos=,=,=,=,.,答案C,第一章空间向量与立体几何,设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0,14,