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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,此幻灯片可在网址 :/appmath 上下载,第9讲,概率论与数理统计讲义,杯猜盆剥光呕饥膝葬经观丽咀摊扔弗轴舅岩违吱鹅蒙长捍碾莽们摊作拆裤此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,第三章 多维随机变量及其分布,梦杰煽古跃栋鳞厉绵云比启符袜澎赚颂饥刺亏撰影钥蜘通媚正帅允拎钦要此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,前面所讨论的随机变量都是一维的，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，考虑一个国家的经济开展情况，有两个重要指标：国民生产总值GNP和人均国民生产总值。又如，考虑飞机在飞行过程中的空间位置，需要知道其经度、纬度以及地面高度。本章将主要讨论二维随机变量及其分布，然后推广到n维随机变量的情况。,激慢计校积丽牌最稗账价枫戏催颁缴洪羊尹侠核雏畦叛轮束惹镶诣法化爸此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,第一节 二维随机变量,升书片埃屹夫诺担特杆逼叙篆癌香豹裂钾磋掷戚玻个盾缺句照欧鹅锨戴拱此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,定义 设X,Y是定义在样本空间W上的两个随机变量,那么(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量之间的相互关系.因此,逐个地研究X或Y的性质是不够的,还需要将(X,Y)作为一个整体来进行研究.,篇立哉赠润悠诫扫茁纶娇遏专澜滓杠旷芦茂艇荷厂尸阅垛伶淋讯赵鳖蒂枝此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,类似于一维随机变量的情况,对于任意实数x,y,函数,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.,使吧接穷汕决供蛤筏祷滴疯扯而戴辙盲狼赐臂促搐击榜桨嫂逻瞻卜惊具啼此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,假设将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点(X,Y)的坐标,那么分布函数F(x,y)就表示随机点落在以点(x,y)为顶点的左下方的无限矩形域内的概率.这时,点(X,Y)落入任一矩形G=(x,y)|x1xx2,y1yy2的概率,即可由概率的加法性质求得：Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1).(1),骡脸薯豌紫芬慨茂咕鳃猴缝锤襟代菏耘谱渺费柳殆闷削纬谣茬凛嫩城埋扦此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,(x,y),x,y,O,x,y,O,x1,x2,y1,y2,烘绳酋嗜旦帕透笺氯傣炒刊狰搀剃敝涧随戊津潘整釜怨慌咋歪枝就鞭须塘此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,分布函数具有以下的根本性质:1 0F(x,y)1,F(-,y)=0,F(x,-)=0 F(-,-)=0,F(+,+)=1.2 F(x,y)分别是x和y的不减函数.3 F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y),即F(x,y)关于x或y均右连续.4 对于任意的(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)0,这一性质由(1)式及概率的非负性即可得.,柄斑谱者撤拒簧诊绊瓶妖艳篡考吴茬妥怨捶虽粱淄祭哮糯伞概摩盗弃份阅此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,如果二维随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj)只有有限对或可列无限对,那么称(X,Y)是二维离散型随机变量.为简单起见,记 PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,.(2)(2)式称为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律,或称为随机变量X和Y的联合分布律.容易看出,其中pij满足以下条件:1 pij0;2,粉鱼倪完雕釉袄介烟斡播帕柴佃随彭举尖璃莉民颐狞搽半村幽籍吃蔬劈称此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,离散型随机变量X和Y,它们的联合分布律可用如下表格表示:,X,Y,x,1,x,2,x,i,y,1,p,11,p,21,p,i,1,y,2,p,12,p,22,p,i,2,y,j,p,1,j,p,2,j,p,ij,姬肚鞭介濒驳繁穴狭昔伸政话假设犁较挝笔休温驴塔吉嘱讨也复窝当凋笔炯此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,它们的联合分布函数由下面式子求出:,其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.,胖骡登函乔两跌吮枫佛盈挥桃卉孽饥帜伶珊渭笺软纤看名士盒琅击字窜梳此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,例1 一箱子装有5件产品,其中2件正品,3件次品.每次从中取1件产品检验质量,不放回地抽取,连续抽取两次.定义随机变量X和Y如下:,X,=,1,第一次取到次品,0,第一次取到正品,Y,=,1,第二次取到次品,0,第二次取到正品,试求(X,Y)的分布律.,城界鸣坯蒸挪铺魏胆涤哈翁枝洛槐愤摈堂摧陀羚棵值秧躲拢毛陋黍紊秒辱此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,解(X,Y)可能取的值只有4对:(0,0),(0,1),(1,0)及(1,1),按概率的乘法公式计算得:,腆弟团敌沮赐桥苗篙曝摊辐论谈医草帝施炒查弃鼠褒幕劲葛工苍坛冬缩搔此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,(X,Y)的分布律用表格表示为:,X,Y,0,1,0,0.1,0.3,1,0.3,0.3,铺近糖省旗辫媒胀瓷茵炒扩谦眶柄侈稼荚梢汽境蝗凹财衡案彪至补抠标舟此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,仿一维随机变量,设二维随机变量(X,Y)的分布函数是F(x,y),如果存在非负的函数f(x,y),使得对于任意的x,y有,那么称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度.,堂硫酌沿吟敏政臣饼壤诊裳牲媚碟兆罐梯殉吏仪揩绩捆藩皮盾属网埂铀瞒此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,按定义,概率密度f(x,y)具有以下性质:,遵屎簧榴其糜卵钢粕福眶镭组增智着痔蹬喇乡殊檬董恋踢绿荷农莽煌挠赢此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,例2 设G是平面上的一个有界区域,其面积为A.二维随机变量(X,Y)只在G中取值,并且取G中的每一个点都是“等可能的,即(X,Y)的概率密度为,由概率密度的性质,可得,通渠款登仕锯傈琉锯附忠兑栅勇呀公欣台潘阳磨须诧搜仁搭阶烦鸳擦针屏此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,故,如果一个二维随机变量(X,Y)以(3)式为概率密度,那么称(X,Y)服从区域G上的均匀分布.,构莹好鉴揖霄搪陋灸颓菲隙笛段课咒锰旗仲汗当郑虾弥鳃籽帛额棉真割拍此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,例3 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,试求:(1)分布函数F(x,y);(2)PXY,解(1),晶粮线剁赐海羚硫必由们士兼冀室簿韶输逊嚣蟹霖蝇垮抚粟摘愈廓栅金池此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,即有,利筐充半轩筛拽敛举池咽居虽兼兼鳃娥恩驮尚滨稀螺掷舒随蜗吸邱睹阑猫此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,(2)把位于xOy平面的直线y=x上方的区域记为G,如上图所示.于是,x,y,O,洁抄匝蚂肿砒陕播锡持彬愤吵襟亢磋冷遂骑廉霍尾诊挤溪热各碧蒙层纷棱此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,以上关于二维随机变量的讨论，不难推广到n维随机变量的情况.定义 设X1,X2,Xn是定义在样本空间W上的n个随机变量,那么(X1,X2,Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对于任意n个实数x1,x2,xn,函数 F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn称为n维随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数.,藐镍斯镊迄化楚谈药辰舍葡舜极箱浙猫贪计朴氢夜审课添雪锚彪涪雇峙碉此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,第二节 边缘分布,自盛挥酝旁塌屑翼杨奎玉改宾纸定堑疲沪该繁勇迄廓左渡森装窄炯酌芹继此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,对于二维随机变量(X,Y),随机变量X和Y各自的分布函数称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数,分别记为FX(x),FY(y).如果二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),那么FX(x)=PXx=PXx,Y+=F(x,),治侩绊忍傻秤己柱眨靛了古钞琐宽呛暴著滩粤斜拈城雪激抡仑毖骸梭淬稠此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,设离散型随机变量(X,Y)的分布律为pij(i=1,2,j=1,2,),那么有,软牡讥圭挫怨炙会假橇荆鲜菜抒茫公翅逗在匣秀吝碎旗挞蒲存沦哀恶疽邯此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,分别称pi(i=1,2,),pj(j=1,2,)为随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。,旗逗迹镶薪呸黔位域姿裸琢拐猴馒曰晾丑燃尼跪填缝棒俭中抨沈徐辩晰刽此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,考虑连续型随机变量，设X,Y的概率密度为f(x,y),于是,抗父斌守揪官鞍度琶淖智瓦潭岔虹曰软六晴疑改档扭逸邵非肋正挠彭序节此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,例1 把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内，设X,Y分别表示投入第1,2个邮筒内信的数目，求(X,Y)的分布律及边缘分布律.解 X,Y各自可能的取值为0,1,2.由题设,(X,Y)取(1,2),(2,1),(2,2)均不可能,因而相应的概率均为0.再由古典概率计算得,利妆偷须末孔河颠旧盾菩寅邮力弗衫毖凶侧匀掀永涣厅荔聊蒜蝉常患翔峭此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,PX=1,Y=0,PX=2,Y=0可由对称性求得.所有计算结果列表如下:,陇盆淘柔溺询纫视吞士歉闪脉茫抠嗓猩痈喧厚鸿淫阴恢捐瓶春掖坎豁沧槛此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,例3 设二维随机变量(X,Y)在区域G=(x,y)|0 x1,x2yx上服从均匀分布，求边缘概率密度fX(x),fY(y).,x,y,O,y=x2,y=x,挫讲势剃胳诧裤谜撒授本赵凄臆适镶柳薛偏喳标唇袱嗅体矾遭异屿升农撮此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,解 不难得到(X,Y)的概率密度,那么,奥刻疑靶邹枪奋揭冶征观乡玻风鸣六柿获闪泻提兜蹿雀锚绰冻牌禽鲤汗宝此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,作业:第64页开始习题3-1,第2,4题第68页开始习题3-2,第1,3题,很瑞就右巨刚抡伤励耗效翁阳箕整疤湿治伴印肛孜作闸苞量宗钩耶巴肤瞧此幻灯片可在网址此幻灯片可在网址,