极限与函数的连续性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 极限与函数的连续性,2,数列的极限,定义域为正整数的函数称为数列，,记为,x,n,即有,x,n,是数列的第,n,项,，也叫做数列的通项。,数列也可表示为,定义,3.1,数列的递推形式表示,1,、极限的概念,=,容易看出，当,无限增大时，,无限接近于,0,，因而,的极限为,0,。,=,当,的极限也是,0,。,无限增大时，,它的值时而为正，,时而为负，,但总的趋势仍然是,无限的接近于,0,这个数，,因此,例,1,例,2,无限增大时，,越变越小，无限的接近于,1,，因此,的极限是,1,。,=,即,当,例,3,=,并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。,当,无限增大时，,也无限增大，,一个常数，因此也没有极限。,它在,0,和,2,两个数中不停的跳动，,前三个数列的特点：当,无限增大时，,的值无限地接近某个数,.,例,4,，例,5,中的数列没有极限。,“当,无限增大时，,无限接近于,”是什么意思,?,例,5,例,4,也不是无限地接近,以数列,为例：当,无限增大时，,无限接近于,0,与,0,可以任意接近，要多近有多近,可以任意小，要多小有多小,总能小于,任给一个正数,，无论多么小，,只要,n,足够大,(,充分大,),无限用任意性,来反映,分别对,(,只要,n 10),0.001,(,只要,n 1000),尽管,“很小”，但毕竟是确定的数。要描述,可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，,才行。这也能够做到。从,可知只要,即可。也就是说 取,，当,时，,即从第,项以后的所有项都满足,例：,都可以做到,.,0.001,(,只要,n 1000),0.001,(,只要,n 1000),都可以做到,.,0.001,(,只要,n 1000),综上：“当,无限增大时，,无限接近于,0”,的实质是：对任意给定的,（无论它多么小），总存在一个正整数,（例取,），,时，,.,将上面的语言抽象化，有下面定义：,正数,当,是一数列，,是一实数，若对于,任意给定,的正数,存在正整数,，当,时，都有,则称,为数列,收敛，且收敛于,记为,或,的极限。或数列,定义,3.2,没有极限的数列称为发散数列。,的极限为,”的几何意义,“数列,（不一定去找满足要求的最小的 ）,几点说明：,1.,使用邻域概念：开区间,称为,的,邻域，记为,对任意给定的,，存在,，当,时，,定义中,必须具有任意性：这样才能保证,与,但为表明渐近过程的不同阶段，,又具有相对固定性。,是通过无限多个相对固定性表现出来的。,的无限接近，,的任意性,这就是任意与固定的辨证关系。,2.,定义中，自然数,不是唯一,的。若存在,满足要求，,任一自然数都能起到,的作用，,则比,大的,所以强调自然数的,存在性,3.,极限为,0,的,数列,称为无穷小量。,下面给出非常重要的定义：,的极限为,的,充要条件,是：,是无穷小量。,命题,3.1,定义,3.3,值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数,.,由极限的定义显然有,以,a,为极限等价于数列,以,0,为极限,.,我们把它写成下面的命题,，证明,证法,1,：若,，结论显然成立。故不妨设,对任意给定的,，不妨设,，要使,，即,只要,，令,，则当,时，有,.,这就证明了,设,证法,2,：,由,知存在,，使得,，从而,对任给的,，要使,，只要放大后的,.,因此取,，则当,时，有,这就证明了,.,不妨设,例,7,从前面的例子可见，,的过程，,出发，看满足条件的,是否存在。我们只要找到一个就可以了，不管用的是什么方法。,适当放大到,于是我们很容易找到,当然放大要适当，要保证把,放大后仍然是,无穷小量,。,整个证明过程实际上是找,采用的是,反推法,，,即从,证明,2,用的是适当放大法，它将,证明,证明：若,结论显然成立。,.,记,，则,因此,对任意给定的,，不妨设,，取,，则当,时，有,最后设,。这时存在,使,，因此,由于,，故对任意给定,，存在,，当,时，有,这样我们证明了当,时，总有,设,例,8,证明,证明：当,时，,对任意给定的,，取,则当,即,时，有,例,9,数列极限定义的作用,（,2,）常用于理论推导（即证明中使用,很强大）,（,1,）它其实并不能求极限值，只是能验证某个,实数是否是数列的极限。,2,、极限的四则运算与性质,寻找求极限的方法,则,定理实际上说的是：极限运算和四则运算可以交换次序。,设,定理,3.1,（有界性）有极限存在的数列必有界。,定理,3.2,若,无界，则,发散。,推论,3.1,（保号性）若,则存在,N,，当,时，有,设,若,则存在,，当,时，有,若,则存在,，当,时，有,推论,3.2,定理,3.3,则,设,定理,3.1,求,例,11,更一般的，若,是正整数，,若,，是常数，则,若,是无穷小量，,是有界数列，则,是无穷小量。,由定理,3.1,知，无穷小量的代数和、积仍是无穷小量。,推论,3.3,定理,3.4,定理,3.4,是求极限的方法之一。,求,解 因为,，,是有界数列，,例,10,而,所以,（保序性）若,，且,则存在,当,时，有,（用定理,3.3,的证明方法）,证法,2,证法,1,定理,3.5,（用定理,3.3,的结论）,取,或,如何,?,定理,3.6,（极限不等式）,若对任意的正整数,n,，,有,且,则,1,若,则,两点说明：,2,若条件改成,存在,当,时，有,结论还成立吗？,例如,，,可见结论也只能得到,定理,3.6,表明，在极限存在的前提下，可以在不等式两边取极限，但千万不要忘记“带上等号”。,但,定理,3.7,（唯一性）,若数列极限存在，则极限是唯一的,.,定理,3.8.,夹迫性,夹迫性是求极限的另一种常用方法。,例,12,设,其中,求证,证明,由于,而,由定理,3.8,即得,例,13,证明,证法,1,当,时，,令,其中,这时,因此,故,已知,由定理,3.8,得,时，由平均值不等式得,而由定理,3.8,得,当,证法,2,（单调有界原理单调有界数列存在极限）,(,要证有极限，到目前只能用定义才可能可行，,，然后再证这个数就是,的极限,.),单调上升有上界的数列必有极限。,单调下降有下界的数列必有极限,证明：设数列,单调上升有上界,一个合适的数,如何确定,?,想到实数基本定理。,定理,3.9,故要先确定,需要构造实数得一个分划：,A|B,令,B,是,全体上界组成的集合，即,取,A=RB,则,A|B,是实数,R,的一个分划：,事实上,不空,：,有上界，知,B,不空，又,单调上升，故,不是,的上界,所以,任取,（往证,),因,a,不是,的上界，所以存在,使,，又,b,为,的一个上界，故,，所以,由,，即,A,也不空,由,A=RB,知,A,，,B,不漏,不漏,：,不乱,：,根据实数基本定理，存在,，使得对任意,，有,下证,任给,（要证：,，当,时，,）,由于,，即,不是,的上界，故存在,N,，使,，又,单调上升,所以当,又,，即,为,的一个上界，故对任意,n,，有,所以当,时，有,，即,这就证明了,单调有界原理只断言极限存在，而没有给出如何求出极限。但即使只给出极限的存在性，有时已能提供计算的方法。,设,求,的极限。,例,14,单调有界原理是求极限的方法之一。,注,:,上述例,14,中的数列是一个递推数列（迭代数列），一般定义,在求此类数列的极限时，极限存在性的前提是非常重要的。,，它的极限不存在，但是它满足,，令,两边取极限，使得,即,最后看单调有界原理的一个重要结果，,例如,考察数列,，这显然是荒谬的结论,证明数列,的极限存在,.,记这一极限为,e,，即,例,15,非常重要的极限！,无穷大量,3,、,在发散的数列中，有一种特殊的数列 ：当,无限增大时，,也无限增大。,例如：,我们称这种数列为无穷大量，仿,语言，有定量化的定义。,定义,3.4,设,是一数列，若对于任意给定的,G,0,，,时，有,则称,是无穷大量,或,存在正整数,N,，当,记为,任意给定区间,必然从某项,起，后面的所有项都落在区间,之外。换句话说，数列,至多有,N,项,落在区间,之中。,从几何上看，无穷大量是指,证明,对任意给定的,G0,不妨设,G2,，要使,即,只要,令,，则当,时，有,，即,是无穷大量,.,和,的定义，分别称,为正穷大量和负无穷大量,.,例,16,：,是无穷大量。,证明,类似给出,例,17,证明,证明,对任意给定的,，不妨设,，要使,，只要,取,，则当,时，有,故,非无穷大量的肯定叙述：,使,由此证明：,1,，,0,，,2,，,0,，,3,，,0,，,n,，,0,不是无穷大量。,无穷大量的运算法则和性质：,1,、无穷大量和无穷小量的关系：,是无穷大量当且仅当,是无穷小量。,2,、若,是正（负）无穷大量，则,是正（负）无穷大量。,3,、若,是无穷大量，,是有界量，则,是无穷大量。,4,、若,是无穷大量，,满足：存在,N,，当,时，有,，则,是无穷大量。,5,、无穷大量和无界量之间的关系,例,18,若,，则,证明,由,，则存在,，当,时，有,由,，则对任意给定的,，存在,，当,时，有,令,则当,时，有,，所以,例,19,证明,由于,，利用无穷大量和无穷小量的关系即得证。,证明,综合上例：设,时有,