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,*,第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理 第二节 函数,1,第一节 微分中值定理,本节主要内容,:,一,.,罗尔中值定理,二,.,拉格朗日中值定理,三,.,柯西中值定理,第一节 微分中值定理 本节主要内容:一.罗尔中值定理二.,2,一、罗尔中值定理,费马（Fermat）引理,函数,y=f(x),在,N(x,0,),有定义，,y=f,(x,0,),存在，,f(x),f(x,0,),(,f(x),f(x,0,),),定义,3.1.1,导数等于零的点称为函数的,驻点,（或,稳定点、临界点,),一、罗尔中值定理 费马（Fermat）引理 定义3.,3,引理的直观意义,:,可导函数极值点处的切线平行于,x,轴,.,引理的直观意义:可导函数极值点处的切线平行于 x 轴.,4,定理,3.1.1,（罗尔中值定理）,设函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上有定义，如果,（,1,）函数,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上连续,；（,2,）函数,f,(,x,),在开区间,（,a,，,b,）内可导,；（,3,）函数,f,(,x,),在区间两端点处的函数值相等，即,f(a)=f(b),；,则在（,a,，,b,）内,至少,存在一个点,a,b,，,使得,f,(,)=0.,例如,定理3.1.1（罗尔中值定理）设函数y,5,因为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上必能取到最大值,M,和最小值,m,考虑两种可能的情况：,(1),若,m,=,M,则,f,(,x,),在,a,b,上恒等于常数,M,(,或,m,),因而在,(,a,b,),内处处有,f,(,x,)=0,，,因此可取,(,a,b,),内任意一点作为,而使得,f,(,)=0,成立。,定理的证明,因为函数 f(x)在区间 a,b 上连,6,(2),若,m,M,，因为,f,(,a,)=,f,(,b,),，因此,m,、,M,不可能同时是两端点的函数值，即最小值,m,和最大值,M,至少有一个在开区间,(,a,b,),内部取得，,不妨设,f,(,)=,M,，,(,a,b,).,由条件,(2),和费马定理推知,f,(,)=0.,(2)若 mM，因为 f(a)=f(b)，因此m、M,7,罗尔定理的几何意义,：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于,x,轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点,，在该点处的切线平行于,x,轴,(,如下图）。,罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处,8,1.,罗尔定理中的,是,(,a,b,),内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；,2.,罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：,两点说明：,1.罗尔定理中的是(a,b)内的某一点，定理仅从,9,例,连续,内可导,连续,内可导,例连续内可导连续内可导,10,例,连续,内可导,例连续内可导,11,例,1,验证罗尔中值定理对函数,f,(,x,)=,x,3,+4,x,2,-7,x,-10,在区间,-1,2,上的正确性，并求出,解得,令,f,(,x,)=,3,x,2,+8,x,-7=0,（,1,）,f,(,x,)=,x,3,+4,x,2,-7,x,-10,在区间,-1,2,上连续；,（,2,）,f,(,x,)=,3,x,2,+8,x,-7,在（,-1,2,）内存在；,（,3,）,f,(-1)=,f,(2)=0,；,所以,f,(,x,),满足定理的三个条件,.,则,就是要找的点，显然有,f,(,)=0.,解,例1 验证罗尔中值定理对函数解得令f(x)=3x2+8,12,例,2,证明方程,x,5,-5,x,+1=0,有且仅有一个小于,1,的正实根,存在性：,令,f,(,x,)=,x,5,-5,x,+1,，,则,f,(,x,),在,0,1,上连续,f,(0)=1,，,f,(1)=-3,，由介值定理：至少存在一点,x,0,(0,1),使,f,(,x,0,)=0,，,x,0,即为方程的小于,1,的正实根,.,唯一性：,设另有,x,1,(0,1),x,1,x,0,使,f,(,x,1,)=0,因为,f,(,x,),在,x,1,，,x,0,之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点,(,在,x,1,，,x,0,之间,),使得,f,(,)=0,但,f,(,x,)=5,x,4,-50,x,(0,1),矛盾,所以为唯一实根,.,证明,例2 证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根,13,例,3,不求函数,f,(,x,)=(,x,-1)(,x,-2)(,x,-3)的导数，说明方程,f,(,x,)=0有几个实根,函数,f,(,x,),在,R,上可导,所以在区间1,2,2,3上满足罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有一实根；,又,f,(,x,)=0,是二次方程,至多有二个实根；,所以方程,f,(,x,)=0,有且仅有两个实根,它们分别落在区间（1,2),（2,3)内,解,例3 不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的,14,定理,3.1.2,（拉格朗日中值定理）,设函数,y,=,f,(,x,),满足,（,1,）在闭区间,a,，,b,上连续,；,（,2,）在开区间,（,a,，,b,）内可导,；,那么在,(,a,，,b,),内,至少存在一点,(,a,b,),，使得,f,(,b,)-,f,(,a,)=,f,(,)(,b,-,a,),或,二、拉格朗日中值定理,定理3.1.2（拉格朗日中值定理）二、,15,注意到,Rolle,定理是,Lagrange,定理的特殊情况。,证明思想,构造辅助函数法,由于证明这个定理，目前只有,Rolle,定理可用，因此想若能构造一个辅助函数,(,x,),使其满足,Rolle,定理的条件，同时想办法接近要证明的结论,.,注意到,Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况。证,16,则函数,j,(,x,),在区间,a,b,上满足罗尔定理的条件,(1),(2),又,作辅助函数,所以，由罗尔中值定理，在,(,a,b,),内至少存在一点,使,即,f,(,a,)-,f,(,b,)=,f,(,)(,b,-,a,),定理的证明,则函数j(x)在区间a b上满足罗尔定理的条件(1),17,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,1.,拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件；,2.,当,f,(,a,)=,f,(,b,),时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值 定理；,3.,设,f,(,x,),在,a,b,上连续，在,(,a,b,),内可导,x,0,x,0,+,x,(,a,b,),则有,几点说明：,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.1.拉格朗日中,18,拉格朗日定理的几何意义,：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点,，使得该点的切线平行于曲线两端点,(,a,f,(,a,),与,(,b,f,(,b,),的连线，其斜率为,拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格朗,19,推论,1,设,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续，若在,(,a,b,),内的导数恒为零，则在,a,b,上,f,(,x,),为常数,.,推论,2,如果函数,y,=,f,(,x,),与,y,=,g,(,x,),在区间,(,a,b,),内的导数处处相等，即,f,(,x,)=,g,(,x,),，则这两个函数在,(,a,b,),内只相差一个常数，即,f,(,x,)-,g,(,x,)=,C,推论1 设 y=f(x)在 a,20,设,f,(,x,)=arcsin,x,+arccos,x,由推论1知,f,(,x,)=C,所以,例,4,证明：,又因为,即,证明,则,f(x),在,0,1,上连续，又,设f(x)=arcsinx+arccosx,由推论1知,21,设,f,(,x,)=ln(1+,x,),则,f,(,x,),在,0,x,上,满足拉格朗日中值定理的条件，,即,由,于,因为,0,0,时，,所以上式变为,即,证明,设f(x)=ln(1+x),则,22,定理,3.1.3,（柯西中值定理）,设函数,y,=,f,(,x,),与,y,=,g,(,x,),在闭区间,a,b,上连续，在开区间,(,a,b,),内可导，且,g,(,x,),在,(,a,b,),内恒不为零，则至少存在一点,(,a,b,),，使得,注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当,g,(,x,)=,x,时的一种特例。,三、柯西中值定理,定理3.1.3（柯西中值定理）注意：拉,23,分析,:,问题转化为证,构造辅助函数,证,:,作辅助函数,且,分析:问题转化为证构造辅助函数证:作辅助函数且,24,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考,:,柯西定理的下述证法对吗,?,两个,不,一定相同,错,!,上面两式相比即得结论,.,使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对,25,弦的斜率,切线斜率,几何意义：,注意：,弦的斜率切线斜率几何意义：注意：,26,1.,微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.,微分中值定理的应用,(1),证明恒等式,(2),证明不等式,(3),证明有关中值问题的结论,关键,:,利用逆向思维,设辅助函数,费马引理,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理,27,
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