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大,小,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/10/7,#,二次函数的图象与性质,二次函数的图象与性质,想一想:,我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？,想一想:我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数,画二次函数,的图象。,列表：,由于自变量,x,可以取任意实数，因此让,x,取,0,和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：,x,3,2.5,2,1,0.5,0,0.5,1,2,2.5,3,4.5,3.125,2,0.5,0.125,0,0.125,0.5,2,3.125,4.5,画二次函数 的图象。列表：由于自变量x可以取任,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,5,描点,：,在,平面直角坐标系内，以,x,取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如,图,：,连线：,A,A,B,B,xyo1234123412345描点：在平面直角坐标,观察和分析：,从图,中,看出，点,A,和点,A,，,点,B,和点,B,，,，它们有什么关系？,点,A,和点,A,关于,y,轴对称，点,B,和点,B,也是,由此你能作出什么猜测？,我猜测,的,图象,关于,y,轴对称,。,观察和分析：从图中看出，点A和点A，点B和点B，它,从,图还可看出，,y,轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？,纵坐标随着增大,的图象在,y,轴右边的所有点都具有这样的性质吗？,我猜想都有这一,性质,可以,证明上述两个猜测都是正确的，即,的图象关于,y,轴对称；图象在,y,轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为,“,右升,”,。,从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵,连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在,y,轴左边的部分（把,y,轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了,的图象。如图：,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,5,连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各,我们,已经正确画出,了,的,图象，因此，现在可以从图象（见图）,看出,的,其他一些性质（除了上面已经知道的关于,y,轴对称和“右升”外）：,观,察,图象,在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而,_,，简称为“,左降,”；,对称轴,与图象的交点是,_,；,图象的开,口,向,_,；,O,(0,0),上,减小,当,x,=_,时，函数值最,_,。,0,小,我们已经正确画出了 的图象，因此，现在可,类似,地，当,a,0,时，,的,图象也具有上述性质，于是我们在画,的,图象时，可以先画出图象在,y,轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在,y,轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的,性质）。,类似地，当a0时，的图象也具有上述性,画二次函数的,图象,。,解,，,列表：,x,0,0.5,1,1.5,2,3,0,0.25,1,2.25,4,9,牛刀小试,画二次函数的图象。解，列表：x00.511.52300.,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,6,2,8,4,描点和,连线,利用对称性，画出,图象,在,y,轴左边的部分，这样我们得到了,的图象，如图,画出图象在,y,轴右边的部分，,也可以这样做：,xyo123412346284描点和连线利用对称性，,1.,二次函数,y,=,x,的顶点坐标是_,_,_，对称轴是,，,图象在,y,轴的,（顶点除外），开口方向,，,当,x,时,，,y,随着,x,的增大而减小，当,x,时,，,y,随着,x,的增大而,增大。,y,轴,上方,0,（0,0）,向上,1.二次函数 y=x 的顶点坐标是_，对称轴,x,y,o,2,.,在,同一坐标系中画出二次函数,和 的图象。,x,0,0.5,1,2,0,0.5,2,8,描点,连线,列表,xyo2.在同一坐标系中画出二次函数 和,x,0,1,2,3,4,0,1,4,x,y,o,描点,连线,列表,x01234014xyo描点连线列表,开口大小,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax,2,(a0),（,0,，,0,）,y,轴,在,x,轴的上方,(,除顶点外,),向上,当,x,=0,时,最小值为,0,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而,减小,。,在对称轴的右侧,y,随着,x,的增大而,增大,。,a,越大,开口越,小,。,开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax,我们,已经会画 的图象,，能不能,从它得出二次函数 的图象呢？,我们已经会画 的图象，能不能从它得出,在 的,图象上任,取,一点 它,关于,x,轴,的,对称点,Q,的,坐标是,在 的图象上任取,从,点,Q,的坐标看出,，点,Q,在,的图象上。由此可知，,的,图象与,的,图象关于,x,轴对称。,因此,只要把,的图象沿着,x,轴翻折并将图象,“复制”出来,，就可以得到,的图象,。,从点Q的坐标看出，点Q在 因此只要把,观察 的图象,，,你,能说说图象具有哪些特征，该函数具有哪些性质吗？,观察 的图象，你能说说图象具有哪,图象特征,顶点,开口,对称性,函数性质,增减性,最值,原点,是图象的,最高点。,开口,向下。,关于,y,轴对称,。,也可表示为：,x,0,时，,y,随,x,的增大而,减小。,x,0,时，函数,y,取最大值,0,。,二次函数,的,图象特征和函数性质,图象,在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降”；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为,“左升”。,图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点,是图象的最高,一般地，当,a,0,时，,y,=,ax,2,的图象都具有上述性质。于是我们画,y,=,ax,2,（,a,0,）,的图象时，可以先画出图象在,y,轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在,y,轴左边的部分，在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤。,结论,一般地，当a0 时，y=ax2的图象都具有上述性质,例,2,画二次函数 的图象,解：,列表,例2 画二次函数 的图象解：列表,描点、连线,画,出图象在,y,轴右边的,部分,。,利用,对称性,，画,出图象在,y,轴左边的部分,这样就得到了,图象,。,描点、连线 画出图象在y轴右边的部分。利用对称性，画出,在,同一直角坐标系中画出二次函数,y,-,0.3,x,2,及,y,-8,x,2,的图象,，并,比较它们的共同点与,不同点。,不同点,：,图象,开口的大小不同,，可以发现,a,0,时，,a,越大,图象开口越,大。,相同,点：,两函数图象顶点都是原点且是图象的最高点，开口都向下，都是轴对称图形，对称轴是,y,轴，在,y,轴的左侧函数值随自变量取值的增大而增大，在,y,轴的右侧函数值随自变量取值的增大而减小，,x,0,时，函数,y,取最大值,0,。,牛刀小试,在同一直角坐标系中画出二次函数y-0.3x2及y,图象特征,顶点,开口,对称性,函数性质,增减性,最值,原点,是图象的,最高点。,开口,向下，,关于,y,轴对称。,也可表示为：,x,0,时，,y,随,x,的增大而,减小。,x,0,时，函数,y,取最大值,0,。,二次函数,y,=,ax,2,(,a,0),的图象特征和函数性质,图象,在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降”；,图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为,“左升”。,a,越,大,抛物线开口越,大。,图象特征顶点开口对称性函数性质增减性最值原点,是图象的最高,在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数,y,=,ax,2,(,a,0),的图象相像吗？,说一说,在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函,以,棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，,x,轴的正方向水平向右,，,y,轴的正方向竖直,向上，则可以看出棒球,在空中经过的路线是形如,y,=,ax,2,(,a0,时，抛物线的开口向上；当,a0,时，抛物线的开口,向下。,由于,我们已经知道了函数,的图象的性质，因此今后在画,的,图象，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分，在画图象的右边部分时，只需要“,列表，描点，连线,”三个步骤就可以,了,。,类似地，我们可以证明下述结论：二次函数,开口大小,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,最值,y=a,（,x-h,）,2,（,h,，0）,x,=,h,a,0,时，开口向上；,a0,时，开口向下.,当,a0,时，有最小值为0；当,a0,时，有最大值为0.,越小,开口越,大。,a,0,时，在,x,轴的上方；,a0,a0,开口方向,顶点坐标,对称轴,性质,最值,向上,向下,(h,k),(h,k),x,=h,x,=h,当,xh,时，,y,随着,x,的增大而,增大。,当,xh,时，,y,随着,x,的增大而,减小。,x=h,时,y,最小值,=k,x=h,时,y,最大值,=k,抛物线,y=a(x-h),2,+k(a0),的图象可由,y=a,（,x,-h）,2,的图象通过上下平移,得到,。,y=a(x-h)2+k(a0)a0a0开口方向顶点坐标,如何,画二次函数 的图象,?,把,y=,配方成,y=,我们会画,的图象。,如何画二次函数,解,：,配方,：,做一做,画二次函数,的图像,解：配方：做一做画二次函数,对称轴是直线,，,顶点坐标是,列表：自变量,x,从顶点的横坐标,开始,取值,x,2,3,3,-,1,对称轴是直线 ，顶点坐标是列表：自变量x从顶点的横,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,3,2,4,1,5,1,描,点和连线：画出图象在对称轴右边的,部分。,利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到函数 的图象，如图。,xyo12341234324151 描点和,从,图看出，当,x,等于多少时，函数,的,值最大？这个最大值是多少？,当,x,等于顶点的横坐标,时,，函数,值（,）,这个最大值等于顶点的纵坐标,x,y,o,1,2,3,4,1,2,3,4,3,2,4,1,5,1,最大,说一说,从图看出，当x等于多少时，函数 的值最,再,如：从图看出，二次函数,，,当,x,等于多少时，函数值最小,?,这个最小值等于多少？,一般地，有下述,结论：,二次函数,当,x,等于顶点的横坐标时，达到最大值（当,a,0,），这个最大（小）值等于顶点的,纵坐标,。,O,y,2,4,2,4,2,4,2,4,再如：从图看出，二次函数 ，当,1.,画二次函数,的图象。,配方,x,2,1,0,1,2,3,4,7,2,1,2,1,2,7,列表,描点,x,O,y,2,4,2,4,2,4,2,4,连线,1.画二次函数的图象。配方x2101234721,2.,求下列二次函数的图象的顶点坐标：,配方 得,顶点坐标为,2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：配方 得顶点坐标为,顶点坐标为,（,-,2,，,5,）,顶点坐标为（-2，5）,3.,求下列各个二次函数的最大值或,最小值,。,解：,配方得,配方得,x=10,有最小值为,x=-20),y=ax,2,+bx+c,(a0,开口向上,a,0,开口向下,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而,减小；,在对称轴的右侧,y,随着,x,的增大而,增大。,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而,增大；,在对称轴的右侧,y,随着,x,的增大而,减小。,x,y,0,x,y,0,抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+,
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