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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/8/17,#,导数,及其应用,第四章,第,3,讲导数的综合应用,第,2,课时导数与函数的零点,第一页，编辑于星期六：四点 八分。,栏目导航,02,素养微专,直击高考,01,重难突破,能力提升,03,配 套 训 练,第二页，编辑于星期六：四点 八分。,重难突破能力提升,1,第三页，编辑于星期六：四点 八分。,示通法,判断函数的零点个数时，需结合函数的单调性，按照一定标准进行分类讨论，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明,f,(,a,),f,(,b,)0.,f,(,x,),2,ax,2,a,2,a,(,x,1),，,所以,f,(,x,),min,f,(1),4,a,4,，,a,1.,故函数,f,(,x,),的解析式为,f,(,x,),x,2,2,x,3.,第五页，编辑于星期六：四点 八分。,第六页，编辑于星期六：四点 八分。,第七页，编辑于星期六：四点 八分。,【解题技巧】,利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法,(1),构建函数,g,(,x,)(,g,(,x,),易求，且,g,(,x,),0,可解,),，转化为确定,g,(,x,),的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号,(,或变化趋势,),等，画出,g,(,x,),的图象草图，数形结合求解函数零点的个数,(2),利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值,(,最值,),及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数,第八页，编辑于星期六：四点 八分。,第九页，编辑于星期六：四点 八分。,第十页，编辑于星期六：四点 八分。,当,x,(0,，,),时，,(,x,)0,，因此,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,易知,(,x,),在,(0,，,),内至多有一个零点，,即,h,(,x,),在,0,，,),内至多有两个零点，,则,h,(,x,),在,0,，,),上有且只有两个零点，,所以方程,f,(,x,),g,(,x,),的根的个数为,2.,第十一页，编辑于星期六：四点 八分。,函数,f,(,x,),ax,x,ln,x,在,x,1,处取得极值,(1),求,f,(,x,),的单调区间；,(2),若,y,f,(,x,),m,1,在定义域内有两个不同的零点，求实数,m,的取值范围,已知函数零点个数求参数的取值范围,第十二页，编辑于星期六：四点 八分。,解：,(1),f,(,x,),ax,x,ln,x,的定义域为,(0,，,),f,(,x,),a,ln,x,1.,由,f,(1),a,1,0,，解得,a,1,，,当,a,1,时，,f,(,x,),x,x,ln,x,，,即,f,(,x,),ln,x,，令,f,(,x,)0,，解得,x,1,；,令,f,(,x,)0,，解得,0,x,1,，即,m,2,，,第十四页，编辑于星期六：四点 八分。,当,0,x,e,时，,f,(,x,),x,(,1,ln,x,)e,时，,f,(,x,)0.,当,x,0,且,x,0,时，,f,(,x,),0,；当,x,时，显然,f,(,x,),.,由图象可知，,m,10,，,即,m,1,，,由,可得,2,m,1.,所以,m,的取值范围是,(,2,，,1),第十五页，编辑于星期六：四点 八分。,【解题技巧】,与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与,x,轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题,第十六页，编辑于星期六：四点 八分。,【变式精练】,2,已知函数,f,(,x,),e,x,ax,a,(,a,R,且,a,0),(1),若,f,(0),2,，求实数,a,的值，并求此时,f,(,x,),在,2,，,1,上的最小值；,(2),若函数,f,(,x,),不存在零点，求实数,a,的取值范围,解：,(1),由题意知，,f,(,x,),的定义域为,R,，,又,f,(0),1,a,2,，得,a,1,，,所以,f,(,x,),e,x,x,1,，求导得,f,(,x,),e,x,1.,易知,f,(,x,),在,2,0,上单调递减，在,0,1,上单调递增，,所以当,x,0,时，,f,(,x,),在,2,1,上取得最小值,2,.,第十七页，编辑于星期六：四点 八分。,第十八页，编辑于星期六：四点 八分。,当,a,0,时，令,f,(,x,),0,，得,x,ln(,a,),在,(,，,ln(,a,),上，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增，,所以当,x,ln(,a,),时，,f,(,x,),取最小值,函数,f,(,x,),不存在零点，等价于,f,(ln(,a,),e,ln(,a,),a,ln(,a,),a,2,a,a,ln(,a,)0,，解得,e,2,a,0.,综上所述，所求实数,a,的取值范围是,(,e,2,0),第十九页，编辑于星期六：四点 八分。,函数零点的综合问题,第二十页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十一页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十二页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十三页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十四页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十五页，编辑于星期六：四点 八分。,证明,：,(1),因为,f,(0),1,a,0,，所以,y,f,(,x,),在,(0,，,),上存在零点,因为,f,(,x,),e,x,1,，所以当,x,0,时，,f,(,x,)0,，故函数,f,(,x,),在,0,，,),上单调递增，所以函数,y,f,(,x,),在,(0,，,),上有唯一零点,第二十六页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十七页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十八页，编辑于星期六：四点 八分。,第二十九页，编辑于星期六：四点 八分。,素养微专直击高考,2,第三十页，编辑于星期六：四点 八分。,(2020,年重庆模拟,),已知函数,f,(,x,),x,2,1,x,x,ln,x,.,(1),设,h,(,x,),f,(,x,)(,其中,f,(,x,),是,f,(,x,),的导数,),，求,h,(,x,),的最小值；,(2),设,g,(,x,),e,x,a,x,af,(,x,),，若,g,(,x,),有零点，求,a,的取值范围,【考查角度】,导数与单调性及最值，函数性质的综合应用,【核心素养】,数学运算、逻辑推理,思想方法类,数形结合思想在研究函数零点中的应用,典例精析,第三十一页，编辑于星期六：四点 八分。,【思路导引】,(1),先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；,(2),结合导数与单调性关系及函数的零点判定定理及函数的性质即可求解,第三十二页，编辑于星期六：四点 八分。,第三十三页，编辑于星期六：四点 八分。,(,2),当,a,0,时，由,(1),知,h,(,x,),f,(,x,),1,ln 2,0,，故,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递减，,当,x,1,时，,f,(,x,),f,(1),2,0,；,当,0,x,1,时，,x,ln,x,0,，,x,2,x,0,，故,f,(,x,),0,；,而,e,x,a,x,0,，故,a,0,时，,g,(,x,),e,x,a,x,af,(,x,),0,，此时,g,(,x,),0,无解；,第三十四页，编辑于星期六：四点 八分。,第三十五页，编辑于星期六：四点 八分。,第三十六页，编辑于星期六：四点 八分。,第三十七页，编辑于星期六：四点 八分。,第三十八页，编辑于星期六：四点 八分。,所以,r,(,a,),r,(1),e,2,5,0,，故存在,x,0,e,2,a,，使得,g,(,x,0,),0.,又,g,(1),0,，故,g,(,x,),0,在,(1,，,e,2,a,),上有解,综上所述，当,a,1,时，,g,(,x,),有零点,第三十九页，编辑于星期六：四点 八分。,【解题技巧】,已知函数有零点，求参数的范围问题时，由于有些函数较为复杂，函数图象也没有固定的形状特点，因此可从两个方面思考：一是根据零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；二是先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解,第四十页，编辑于星期六：四点 八分。,迁移应用,第四十一页，编辑于星期六：四点 八分。,第四十二页，编辑于星期六：四点 八分。,第四十三页，编辑于星期六：四点 八分。,第四十四页，编辑于星期六：四点 八分。,第四十五页，编辑于星期六：四点 八分。,第四十六页，编辑于星期六：四点 八分。,完,谢 谢 观 看,第四十七页，编辑于星期六：四点 八分。,
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