第二讲柯西积分公式高阶导数选编课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲,3.3,柯西积分公式,3.4,解析函数的高阶导数,第二讲 3.3 柯西积分公式,3.3,柯西积分公式,（,Cauchy integral formula,）,3.3 柯西积分公式,分析,D,C,z,0,C,1,分析DCz0C1,D,C,z,0,C,1,猜想积分,DCz0C1猜想积分,其中曲线,C,是按逆时针方向取的，我们称它为,柯西积分公式,.,.,定理,3.7,设,f,(,z,),在简单闭曲线,C,所围成的区域,D,内解析，是,D,内任一点，则有,柯西积分公式,其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为.定理3.7 设f(,第二种形式更适用于计算积分，,通常用于被积函数在,C,内有一个奇点,z,0,，,该奇点在被积函数解析式的分母。,此经典例题是柯西积分公式的特例，,f,(,z,)=1,第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇,说明,:,1,、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。,2,、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。,推论,1,（平均值公式）,设,在 内解析，,说明:1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可,说明：,一个解析函数在圆心处的值,等于它在圆周上的平均值,.,证明,说明：一个解析函数在圆心处的值证明,推论,2,设,在由简单闭曲线,围成的二连通,区域,并在曲线,的内部，,例,1,求下列积分的值,推论2 设在由简单闭曲线围成的二连通区域并在曲线的内部，例1,解,解,例,2,解,C,C,1,C,2,1,x,y,o,例2解CC1C21xyo,由平均值公式还可以推出解析函数的一个,重要性质，即解析函数的最大模原理。解析函,数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要,的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域,内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函,数恒等于常数。,由平均值公式还可以推出解析函数的一个,定理,3.8,(,最大模原理,),设,则在区域,推论,1,在区域,若其模在区域,内达到最大值，则此函数必恒等于常数,.,推论,2,设,在有界区域,连续，则,必在区域,的边界上达到最大值。,定理3.8(最大模原理)设则在区域推论1在区域若其模在区域,3.4,解析函数的高阶导数,(The higher order derivative of analytic function),一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示,.,这一点和实变函数完全不同,.,一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了,.,3.4 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅,形式上，,形式上，,.,定理,3.9,设,f,(,z,),在以简单闭曲线,C,所围成的区域,D,内解析,.,在 上连续，则,f,(,z,),在,D,内有任意阶导数，且,.定理3.9 设f(z)在以简单闭曲线C所围成的区域D 内,一个解析函数的导数仍为解析函数。,一个解析函数的导数仍为解析函数。,第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在,C,内有一个奇点,z,0,，该奇点在被积函数解析式的分母。,高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当,n,=0,时的情形。,等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里,(,z-z,0,),n,的系数。,第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在 C 内有,例,3,求下列积分的值,C,为正向圆周,:|,z,|=,r,1.,解,:1),函数 在,C,内的 处不解析,但,在,C,内却是处处解析的,.,例3 求下列积分的值,C为正向圆周:|z|=r,第二讲柯西积分公式高阶导数选编课件,高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而,在于利用求导计算积分,.,高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而,柯西不等式与刘维尔定理,定理,3.10,设函数,f,(,z,),在以,内解析,又,则,此式称为,柯西不等式,.,柯西不等式与刘维尔定理定理3.10 设函数f(z)在以内解,.,证明,由导数公式，有,其中，,n=,1,2,.证明由导数公式，有其中，n=1,2,说明,:,（,1,）此不等式称为柯西不等式,.,（,2,）在,C,上解析的函数，我们称它为一个整,函数，例如,都是整函数，关于整函数我们有下面重要的刘维尔定理,.,说明:（1）此不等式称为柯西不等式.都是整函数，关于整函数我,刘维尔定理,定理,3.11,有界整函数一定恒等于常数,.,证明 由,f,(,z,),是有界整函数，即存在,使得,f,(,z,),在,上解析,.,由柯西公式，有,令,，,可见,从而,f,(,z,),在,C,上恒等于常数,.,刘维尔定理定理3.11 有界整函数一定恒等于常数.证明 由f,应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，,莫勒拉定理：,如果函数,f,(,z,),在区域,D,内连续，并且对于,D,内的任一条简单闭曲线,C,，我们有,那么,f,(,z,),在区域,D,内解析。,应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的,小结：本章五个定理都是为积分计算服务,1),柯西,-,古萨定理,用于,计算,闭合曲线,内部无奇点,的积分。,2),高阶导数公式,用于,计算,闭合曲线,内部有一个奇点,的积分。,(,其中,n=0,就是柯西积分公式,).,3),复合闭路变形原理,用于,化简,闭合曲线,内部有多个奇点,的积分。,4),只有,N-L,公式,用于,不闭合,曲线积分。,小结：本章五个定理都是为积分计算服务1)柯西-古萨定理用于计,课后作业：,一、,思考题：,3,二、,习题,三,：,10-15,课后作业：一、思考题：3,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,人有了知识，就会具备各种分析能力，,第二讲柯西积分公式高阶导数选编课件,